96. Unique Binary Search Trees

题目：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

题意：

给定整数n，问一共有多少种结构唯一的二叉搜索树存储1到n。





思路一：

动态规划解。此题是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子。

Catalan Number卡塔兰数定义：是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640,
343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1]  ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[2]  ：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

代码：C++版：0ms

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n+1, 0);
        
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i=2; i<=n; ++i) {
            for (int k=1; k<=i; ++k) {
                f[i] += f[k-1] * f[i-k];
            }
        }
        return f
;
    }
};