解决复杂问题的思路(二)
2016-07-15 22:15
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解决复杂问题的思路
分类讨论(不失一般性的设,其实是避免了分类讨论);问题简化(规模,分类情况)
一张 100 块人民币的厚度 ⇒ 一沓钱的厚度
一张纸的厚度 ⇒ 对叠多次的厚度
1≤∑i=1nai−−√≤n√
从简单问题出发,来看为两项时候的处理方法:1≤a1−−√+a2−−√≤2√,不等式两边同时平方,1≤a1+a2+2a1a2−−−−√≤2 ⇒ 0≤2a1a2−−−−√≤2−1=a1+a2,是显然成立的。
所以对于,1≤∑ni=1ai−−√≤n√,两边同时平方得:
1≤∑iai+2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤n
也即只需证明,0≤2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤n−1,又有,2aiaj−−−−√≤ai+aj,所以有,
2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤(n−1)(a1+a2+…+an)=n−1
分类讨论(不失一般性的设,其实是避免了分类讨论);问题简化(规模,分类情况)
1. 学会转化
卡文迪许扭秤实验,解决问题的思路是,将不易观察的微小变化量,(多次放大)转化为容易观察的显著变化量,再根据显著变化量与微小量的关系算出微小的变化量 。一张 100 块人民币的厚度 ⇒ 一沓钱的厚度
一张纸的厚度 ⇒ 对叠多次的厚度
2. 从简单问题出发
已知 ai≥0(i=1,2,…,n),且 ∑niai=1,求证:1≤∑i=1nai−−√≤n√
从简单问题出发,来看为两项时候的处理方法:1≤a1−−√+a2−−√≤2√,不等式两边同时平方,1≤a1+a2+2a1a2−−−−√≤2 ⇒ 0≤2a1a2−−−−√≤2−1=a1+a2,是显然成立的。
所以对于,1≤∑ni=1ai−−√≤n√,两边同时平方得:
1≤∑iai+2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤n
也即只需证明,0≤2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤n−1,又有,2aiaj−−−−√≤ai+aj,所以有,
2∑1≤i<j≤naiaj−−−−√≤(n−1)(a1+a2+…+an)=n−1
3. 从特例和极端出发
不失一般性的,先考虑特殊情况,而不是复杂的,具有较多情况的。相关文章推荐
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