关于取模运算 和 求逆元

先分享2个式子

当模式左边有除法：

今天了解了2个，感觉这2个很棒~，尤其第一个：

1、$\dfrac {a} {b}\% m=\dfrac {a \%\left( b\cdot m\right) } {b}$ 要求：a能整除b。（不知道用了什么奇技淫巧。。。）

2、$\dfrac {a} {b}\% m=(a\cdot b^{m-2} )\%m$ 要求：gcd（b , m）== 1 且 m为素数 且 a能整除b （利用费小马定理）

b在模m 下存在逆元的条件： b与m互质（ 即gcd（b,m） == 1 ）。

求逆元又分三种方法，拓展欧几里得法，欧拉函数法，费小马法。从一般到特殊吧：

1、拓展欧几里得法：

　　要求：a与m互质。

代码：

void ext_gcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
if(!b)
{
d = a;
x = 1;
y = 0;
}
else
{
ext_gcd(b, a%b, d, y, x);
y -= x*(a/b);
}
}

int mod_inverse(int a, int m)
{
int x, y,d;
ext_gcd(a, m, d, x, y);
return (m + x % m) % m;
}

2、欧拉函数法

　　要求：b与m互质。

令$\phi \left( m\right) $表示小于等于且与互素的正整数的个数。

如果b和m互质（逆元存在条件），则有$b^{\phi \left( m\right)}\equiv 1\left( modm\right) $ 。即$b\ast b^{\phi \left( m\right)-1}\equiv 1\left( modm\right) $，$b^{\phi \left( m\right)-1} $即为b的逆元

特殊的，当m为质数的情况下 ，$\phi \left( m\right) =m-1$，即费小马定理。

重点在于求解欧拉值

利用欧拉函数的积性性质：


代码：

int eurler_phi(int n)
{
int res = n;
for(int i = 2; i * i <= n; i++){
if(n % i == 0){
res = res / i * (i - 1);
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
return res;
}

3、费小马定理法

要求：b与m互质，且 m为质数

　　在m是素数的情况下，对任意整数b都有$b^m \equiv b(mod)m$

　　如果b无法被p整除，则有$b^{m-1} \equiv 1(modm)$

　　可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，$b * b^{m-2} \equiv 1(mod m)$，$b^{m-2}$即为逆元。

代码：可用快速幂幂