Floyd算法三重循环理解

最短路Floyd算法三重循环的顺序：

for(int k=0; k<=n; ++k)

for(int i=0; i<=n; ++i)

for(int j=0; j<=n; ++j)

map[i][j] = min{ map[i][j], map[i][k]+map[k][j]};

Floyd算法本质上是DP，即对于每个（可能的）新增的节点k，来更新（可能的）节点i到j的最短距离。

为什么 新增节点 k 的循环要放在最外层呢？

这是由其算法本身所决定的，其每一步求出任意一对顶点之间仅通过中间节点1,2,…,k的最短距离，当1,2,…,k扩展到所有顶点时，算法解出任意一对顶点间的最短距离，故顺序自然是：

for(k=1;k<n;++k)
//枚举任意一对顶点

我们可以举个例子；

共有四个节点

map[1][4] = 1;

map[4][2]= 3 ; map[4][3] = 1; map[3][2] = 1;

其他不通，设为无限大；

如果我们按k循环再最内层来计算，

那么1，2节点的最短路径为

min( map[1][2], map[1][3]+map[3][1],map[1][4]+map[4][2]) = 4;

而且之后不再更新1，2节点的最短距，

然而实际上min(map[1][2]） = map[1][4]+map[4][3]+map[3][2] = 3;