POJ 2417 Discrete Logging(BSGS算法,gcd(a,p)=1)

题目链接：

POJ 2417 Discrete Logging

题意：

求ax≡b(mod p)的最小x。(p为素数，2≤a<p,1≤b<p)

分析：

BSGS算法。

一开始用map一直T，参(zhao)考(ban)了这里

用了hash才过。。。

BSGS算法用于求解:ax=b(mod p)在已知a,b,p(p为质数)的情况下的最小解x。时间复杂度O(sqrt(p))。

令x=i∗m+j，其中m=ceil(sqrt(p))，0≤i<m,0≤j<m，那么就相当于求解：

ai∗m+j≡b(mod p)−−>aj=b∗(a−i∗m)(mod p),a−i∗m是ai∗m模p的逆元

所以可以先处理出aj(mod p)的答案放入一个hash表中【Baby Step】，然后枚举i:0−−>m【Gaint Step】，查找b∗(a−i∗m)(mod p)是否在hash表中出现，如果出现，令出现的编号为id,则答案就是id+i∗m.在时间允许的情况下，hash表采用map也可以。

为什么枚举i<m就可以了呢？显然枚举i<m就枚举完了x<p的所有情况。

当x>=p时可以令x=k∗p+t(t<p)，则ax(mod p)=ak∗p+t(mod p)=(ak∗p∗at)(mod p)=((ap)k)(mod p)∗at(mod p).

由费马小定理得:ap≡1(mod p)（p为素数），那么ax(mod p)=1k(mod p)∗at(mod p)=at(mod p)

所以只需要枚举所有x小于p的情况就可以了，也就是枚举i<m就可以了(m是向上取整的).

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <set>
#include <map>
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll MOD = 100007;
ll hs[MOD + 100], id[MOD + 100];

ll find(ll x)
{
ll t = x % MOD;
while(hs[t] != x && hs[t] != -1) t = (t + 1) % MOD;
return t;
}

void insert(ll x, ll ii)
{
ll pos = find(x);
if(hs[pos] == -1){
hs[pos] = x;
id[pos] = ii;
}
}

ll get(ll x)
{
ll pos = find(x);
return hs[pos] == x ? id[pos] : -1;
}

ll ex_gcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{//求解：ax + by = gcd(a, b)
if(b == 0){
x = 1, y = 0;
return a;
}
ll d = ex_gcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}

ll inv(ll a, ll p) //求解:a * x ≡ 1 (mod p)
{
ll x, y, d;
d = ex_gcd(a, p, x, y); //ax + py = gcd(a, p)
return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

ll BSGS(ll a, ll b, ll p)
{//求解a^x ≡ b (mod p)
memset(hs, -1, sizeof(hs));
memset(id, -1, sizeof(id));
ll m = (ll)ceil(sqrt( p + 0.5));
ll tmp = 1;
for(ll i = 0; i < m; ++ i) {
insert(tmp, i);
tmp = tmp * a % p;
}
ll base = inv(tmp, p); //tmp = a ^ m % p
if(base == -1) return -1; //在本题中p为素数且a<p所以这种情况永远不会出现
ll res = b;
for(ll i = 0; i < m; ++ i) {
if(get(res) != -1) return i * m + get(res);
res = res * base % p;
}
return -1;
}

int main()
{
ll a, b, p;
while(~scanf("%lld%lld%lld", &p, &a, &b)){
ll ans = BSGS(a, b, p);
if(ans == -1) printf("no solution\n");
else printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}