JZOJ.1241. Number

Problem

Description

有N(2<=N<=15)个数A1,A2,….,An-1,An,如果在这N个数中，有且仅有一个数能整除m，那么整数m就是一个幸运数，你的任务就是在给定A1,A2,….,An-1,An的情况下，求出第k小的幸运数。

Input

第一行为一整数数N,K(2<=N<=15,1<=K<=2^31-1)，意义如上述。

接下来一行有N个整数，A1,A2,….,An-1,An,这N个整数均不超过2^31-1。

Output

输出一行，仅包含一个整数ans，表示第K小的幸运数。答案保证不超过10^15。

Sample Input

输入1：

2 4

2 3

输入2：

2 100

125 32767

Sample Output

输出1：

8

输出2：

12500

Hint

对于50%的数据，N<=5,ANS<=100000

对于80%的数据，N<=10,ANS<=10^15

对于100%的数据，N<=15,ANS<=10^15

Solution

正解：二分+容斥

二分答案mid，现在就是要求在[1,mid]这个范围内，幸运数的个数Si。

则总个数为Σni=1mida[i]

如果它小于k则mid要增大，否则减小。

但是，这里面一定多算了很多的数。比如说序列{2,3}其中6不是幸运数，2这里算了一次，3这里又算了一次，所以个数要-2.（6是2,3的交集，所以我们要减去2和3的交集）

由容斥原理得，对于一个集合，如果集合元素个数为基数，则加上这个集合所有元素的LCM*集合元素个数否则减去。

由于N<=15，我们可以用2n 的时间来查找所有的集合。

总时间复杂度为O(log(1015)∗2n∗算LCM的时间).

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define LL long long
using namespace std;
LL a[20],l,mid,r,ans,sum;
int i,n,k;
LL gcd(LL a,LL b)
{
if (b==0) return a;else return gcd(b,a%b);
}
LL lcm(LL a,LL b)
{
if (a>b) swap(a,b);
return a*b/gcd(a,b);
}
void select(LL x,LL s,LL cnt)
{
if (x>n)
{
if (cnt>0)
{
if (cnt%2==1) ans+=(mid/s)*cnt;
else ans-=(mid/s)*cnt;
}
return;
}
LL w;
select(x+1,s,cnt);
w=lcm(s,a[x]);
if (w>mid) return;   //特别注意：如果LCM超过了mid要退出去，否则会爆炸。
select(x+1,w,cnt+1);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
fo(i,1,n) scanf("%lld",&a[i]);
l=1;
r=1000000000000000;
while (l<r)
{
mid=(l+r)/2;
ans=0;
select(1,1,0);
if (ans<k) l=mid+1;else r=mid;
}
printf("%lld",l);
}

——2016.7.12