网络流-最小费用最大流

（在最小费用最大流中，最大流量是唯一的，但是最大流不唯一，在保证最大流的条件下，加上一些参数，确定最小费用最大流的唯一性）

最小费用流其实是线性规划的一种特殊类型。所以解决最小费用流的方式其实可以为解决线性规划问题提供一个解决方法。

我们知道，寻找最大流是通过不断寻找增广路对原图进行增广。现在，我们考察一下顺着一条增广路增加一个单位流量会造成费用的什么变化。`flow’=flow+1;`
此时`cost’ - cost = sigma(cost[i][j])-sigma(cost[j][k])` `(i,j)为正向边，(j,k)为反向边` 因为反向边相当于流量的退还，所以我们也要把费用退还

求解方式：

（1）始终保持可行流是最小费用流，然后不断增加流量

（2）始终保持最大流，减小费用

算法原理：如果X为流量为F(X)的最小费用流，u是关于X的所有增广路中费用最小的增广路，那么沿着u去调整得到的一定是最小费用流。

核心算法：



(注意这个Wij的意义：如果正向流量等于容量，相当于这条路封死了。反向同理，如果反向流量等于容量，也是封死了。

（其中Bij为费用） )

做法：不断SPFA找关于费用的最短路（因为可能有负环），如果没有最短路，算法结束。如果有最短路，用最短路上的最小流量来增广