HDU 2865 Birthday Toy(Polya综合)

题目链接；

HDU 2865 Birthday Toy

题意：

有一个n个珠子的环，中心还有一颗珠子，用k种颜色来染。要求相邻珠子的颜色不同，中心珠子的颜色不能和外围任意一颗珠子的颜色一样，考虑旋转，问本质不同的珠子个数？

数据范围：n≤109,k≤109

分析:

和前面POJ 2888 Magic Bracket类似，这里把限制改成了相邻珠子颜色不同且颜色个数范围变为了109.

对于循环个数k，定义dp[i][0]表示一个循环的的珠子经历i个循环颜色和循环起始珠子颜色一致的方案数，定义dp[i][1]表示颜色不一样(初始化dp[1][0]=1,dp[1][1]=0)，那么可以得到转移方程:dp[i][0]=dp[i−1][1], dp[i][1]=dp[i−1][1]∗(m−2)+dp[i][0]∗(m−1)

因为m很大，用矩阵快速幂进行加速。定义矩阵：

A=(0m−11m−2)

B=(10)

C=Ak∗B

那么循环个数为k总的方案数（考虑起始珠子有m种颜色可选）是:ϕ(nk)∗m∗C[1][1]条件是n%k=0,最后还要乘上n模mod的逆元。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cassert>
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = (ll)(1e9) + 7;

struct Matrix{
int row, col;

ll data[10][10];

Matrix () {}
Matrix (int k) {
row = col = 2;
data[1][1] = 0, data[1][2] = 1;
data[2][1] = k - 2, data[2][2] = k - 3;
}

Matrix operator * (const Matrix& rhs) const {
Matrix res;
res.row = row, res.col = rhs.col;
for(int i = 1; i <= res.row; ++i) {
for (int j = 1; j <= res.col; ++j) {
res.data[i][j] = 0;
for(int k = 1; k <= col; ++k) {
res.data[i][j] += data[i][k] * rhs.data[k][j];
}
res.data[i][j] %= mod;
}
}
return res;
}

Matrix operator ^ (const int m) const {
Matrix res, tmp;
tmp.row = res.row = row, tmp.col = res.col = col;
memset(res.data, 0, sizeof(res.data));
for(int i = 1; i <= row; ++i) res.data[i][i] = 1;
memcpy(tmp.data, data, sizeof(data));

int mm = m;
while(mm) {
if(mm & 1) res = res * tmp;
tmp = tmp * tmp;
mm >>= 1;
}
return res;
}
};

inline ll phi(ll x)
{
ll res = x;
for(ll i = 2; i * i <= x; ++i) {
if(x % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}

ll solve(int len, int k)
{
Matrix res, tmp;
tmp = Matrix(k);
tmp = tmp ^ len;

res.row = 2, res.col = 1;
res.data[1][1] = 1, res.data[2][1] = 0;
res = tmp * res;
return res.data[1][1];
}

ll quick_pow(int x, ll m)
{
ll res = 1, tmp = x;
while(m) {
if(m & 1) res = res * tmp % mod;
tmp = tmp * tmp % mod;
m >>= 1;
}
return res;
}

int main()
{
int n, k;
while(~scanf("%d%d", &n, &k)) {
ll ans = 0;
for(int i = 1; i * i <= n; ++i) {
if(n % i) continue;
ans = (ans + phi(n / i) * solve(i, k) % mod) % mod;
if(n / i == i) continue;
ans = (ans + phi(i) * solve(n / i, k) % mod) % mod;
}
printf("%lld\n",ans * k % mod * (k - 1) % mod * quick_pow(n, mod - 2) % mod);
}
return 0;
}