浅谈变换（证明）→反演→莫比乌斯反演→线筛运用

首先我们先引入基础错排，借用比较有趣的说法↓：



那么为何引入这个？

这个错排的计算方式与普通方式不一样，也是为了后面证明反演做铺垫。

那我们先看一下错排的一般计算推导式：

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成： 

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。 
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。 
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数 
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 

（至于级数得到的那个推导式，有兴趣可以自己证一下）

接下来，引入3个很普通的公式：







然后结合，可以得到：



这样，我们便得到了普通的二项式反演：



莫比乌斯反演呢?可以借助上述的形式“简单推”：首先，下面左边两条式子和上面那三个普通的公式有关联，那就是都很普通，然后可以类推出右边的公式：


→→→→


上面都是在讲莫比乌斯反演的推导→为了方便记忆，并没有比较详细地介绍莫比乌斯反演公式的具体内容，

可以参考这篇博文自行了解：http://www.cnblogs.com/Milkor/p/4464515.html

怎么求莫比乌斯反演？

强行筛u

这是种暴力的方法（不是原创的代码）

筛莫比乌斯函数的代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

void mobius() { memset(check, false, sizeof(check)); mu[1] = 1; int tot = 0; for (int i = 2; i <= N; i++) { if (check[i]) { prime[++tot] = i; mu[i] = -1; } for (int j = 1; j <= tot; j++) { if (i * prime[j] > N) break; check[i * prime[j]] = true; if (i % prime[j] == 0) { mu[i * prime[j]] = 0; break; } else mu[i * prime[j]] = -mu[i]; } } }

那莫比乌斯反演有什么用呢？用处真的很多，只是看你会不会用（这里只给出2例）：

1：给T组N,M.依次求出

的值.(N,M<=10^6,T<=10^3)

求解gcd(a,b).把gcd(a,b)当做n.再通过欧拉函数和式。推导过程如下。



第二个等式是用d来看待式子的方法来化简和式的。

之后再穷举d即可。
代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 100

bool mark[N+5];
int prime[N+5];
int num;
int euler[N+5];
int Min(int a,int b){return a>b?a:b;}
void Euler()
{
int i,j;
num = 0;
memset(euler,0,sizeof(euler));
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(mark,0,sizeof(mark));
euler[1] = 1; // multiply function
for(i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])
{
prime[num++] = i;
euler[i] = i-1;
}
for(j=0;j<num;j++)
{
if(i*prime[j]>N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
{
euler[i*prime[j]] = euler[i]*prime[j];
break;
}
else
{
euler[i*prime[j]] = euler[prime[j]]*euler[i];
}
}
}
}

int main()
{
int i;
int M1,M2;
Euler();
for(i=0;i<num;i++)printf("%d ",prime[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<=N;i++)printf("%d ",euler[i]);
printf("\n");
M1 = 2;
M2 = 3;
int sum = 0;
int min = Min(M1,M2);
for(i=1;i<=min;i++)
{
sum += euler[i]*(M1/i)*(M2/i);
}
printf("%d\n",sum);
}

2.给T组N,M.依次求出

的值.(N,M<=10^6,T<=10^3)

在证明之前，先证明以下式子。

 


 

问题的解决推导。



第一个等式。lcm(a,b) = ab/gcd(a,b).

第二个等式。令d=gcd(a,b)。

第三个等式。转化为d的视角。（这个手法经常有）。

第四个等式。转化为莫比乌斯函数。

第五个等式。利用上述的等式来转化。注意d和d'

第六个等式。论文中提到的有趣的化简性质。

第七个等式。其实是d = dd'换元。不过有点老奸巨猾啊。干嘛不设个T = dd'。这个我纠结了半天。

之后就是如论文中介绍的。g(d) 为积性函数。线性筛之。

总体上算法还是N的。

（线筛并没有很详细地讲，之后会有更新，上述内容有参考其它文章）