约瑟夫环问题

约瑟夫环（约瑟夫问题）：已知n个人（以编号1,2,3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一人又从1开始报数，数到m的那个人出列；依此规律重复下去，直到周围的人全部出列，最后出列人的编号是多少？（摘自百度百科）

对于这个问题，网上有很多版本的实现，包括链表、数组等，但是个人觉得实现都有点繁琐，以下是我个人的实现：

#include <iostream>

#define N 300  //总人数n
#define M 5  //报数的最大值m
#define K 1  //报数的起始编号k

/*********************************************
**本质上是利用环形双向链表解决joseph问题，不过
**此处的链表是利用数组prev
及next
实现
*************************************/

int main()
{
int prev
,next
;

for (int i=0; i<N; ++i) {
prev[i] = (i + N - 1) % N;
next[i] = (i + 1) % N;
}

int j = K - 1;
for (int k=1; j!=next[j]; j=next[j], k=(k+1)%M) {
if (k == 0) {
prev[next[j]] = prev[j];
next[prev[j]] = next[j];
}
}

std::cout << "The last number is " << j+1 << "!\n";
return 0;
}

当然，以上都属于暴力求解，算法的时间复杂度高达O(mn)。在网上对该问题的搜索，我发现有个更快捷的方法，是利用数学分析，得出问题的递归式：

f(1) = 1;

f(i) = (f(i -1) + m) % m; i > 1

注：f(i)表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号

如此，问题的时间复杂度为O(n)。

具体的推导分析可参考

http://blog.163.com/soonhuisky@126/blog/static/157591739201321341221179/