快速幂(普通快速幂、矩阵快速幂)

题目地址：HDU 2604 Queuing

题意： 

n个人排队，f表示女，m表示男，包含子串‘fmf’和‘fff’的序列为O队列，否则为E队列，有多少个序列为E队列。

分析： 

矩阵快速幂入门题。 

下面引用巨巨解释：

用f(n)表示n个人满足条件的结果，那么如果最后一个人是m的话，那么前n-1个满足条件即可，就是f(n-1)； 

如果最后一个是f那么这个还无法推出结果，那么往前再考虑一位：那么后三位可能是：mmf, fmf, mff, fff，其中fff和fmf不满足题意所以我们不考虑，但是如果是 

mmf的话那么前n-3可以找满足条件的即：f(n-3)；如果是mff的话，再往前考虑一位的话只有mmff满足条件即：f(n-4) 

所以f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)，递推会跪，可用矩阵快速幂 

构造一个矩阵： 



矩阵快速幂和普通的快速幂原理是一样的，如果不懂可以先去补补快速幂。

int power(int x,int y)
{
int ans=1;
while(y)
{
if(y&1) ans=(ans*x)%mod;
y>>=1;
x=(x*x)%mod;
}
return ans;
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int l,mod;
struct node
{
    ll v[4][4];
    node(){memset(v,0,sizeof v);}
    void init(ll a){for(int i=0;i<4;i++) v[i][i]=a;}
};
node mult(node a,node b)
{
    node c;
    for(int i=0;i<4;i++)
    for(int j=0;j<4;j++)
    {
        c.v[i][j]=0;
        for(int k=0;k<4;k++)
            c.v[i][j]+=(a.v[i][k]*b.v[k][j])%mod,
            c.v[i][j]%=mod;
    }
    return c;
}
node power(node n,ll p)
{
    node ans;
    ans.init(1);
    while(p)
    {
        if(p&1) ans=mult(ans,n);
        p>>=1;
        n=mult(n,n);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    node a,b,c;
    a.v[0][0]=9;
    a.v[1][0]=6;
    a.v[2][0]=4;
    a.v[3][0]=2;
    b.v[0][0]=b.v[0][2]=b.v[0][3]=b.v[1][0]=b.v[2][1]=b.v[3][2]=1;
    while(~scanf("%d%d",&l,&mod))
    {
        if(l==0) puts("0");
        else if(l<=4) printf("%lld\n",a.v[4-l][0]%mod);
        else c=power(b,l-4),c=mult(c,a),printf("%lld\n",c.v[0][0]%mod);
    }
    return 0;
}

http://poj.org/problem?id=3070

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=10000;
struct node
{
long long f[5][5];
void init(){memset(f,0,sizeof f);}
}a,b;
long long n;
node operator *(node a,node b)
{
node c;
c.init();
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int k=1;k<=2;k++)
c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j])%mod;
return c;
}
void power(long long y)
{
while(y)
{
if(y&1) a=a*b;
y>>=1;
b=b*b;
}
}
int main()
{
while(~scanf("%lld",&n),n!=-1)
{
a.init();
b.init();
a.f[1][2]=1;
b.f[1][2]=b.f[2][1]=b.f[2][2]=1;
power(n);
printf("%lld\n",a.f[1][1]);
}
return 0;
}

传送门：https://vijos.org/p/1603

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node
{
long long f[55][55];
void clear(){memset(f,0,sizeof f);}
void init(){for(int i=0;i<55;i++) f[i][i]=1;}

};

int n,s,f,m,mod;

node operator *(node x,node y)
{
node res;
res.clear();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=1;k<=n;k++)
res.f[i][j]=(res.f[i][j]+x.f[i][k]*y.f[k][j])%mod;
return res;
}
node power(node x,int y)
{
node res;
res.init();
while(y)
{
if(y&1) res=res*x;
y>>=1;
x=x*x;
}
return res;
}
int main()
{
int t,tt=0,x,y;
node a;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>a.f[i][j];

cin>>m>>s>>f>>mod;
a=power(a,m);
cout<<a.f[s][f]<<endl;

return 0;
}

https://acm.bnu.edu.cn/v3/problem_show.php?pid=52322
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=7;
typedef long long ll;
struct node {
ll f

;
node() {memset(f,0,sizeof f);}
void init() { f[0][1]=f[1][0]=f[1][1]=1; }
};
ll p,n,m,h=2;
node operator *(node x,node y)
{
node res;
for(int i=0;i<h;i++)
for(int j=0;j<h;j++)
for(int k=0;k<h;k++)
res.f[i][j]=(res.f[i][j]+x.f[i][k]*y.f[k][j])%p;
return res;
}
ll power(node x,ll y)
{
node res;
res.f[0][1]=1;
while(y)
{
if(y&1) res=res*x;
y>>=1;
x=x*x;
}
return res.f[0][0];
}
int main()
{
int t; node x; x.init();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld",&n);
p=13440348*2;
ll b=power(x,n)+p;
p=20160519;
printf("%lld\n",power(x,b));
}
return 0;
}