最近公共祖先学习小结1——在线倍增

学习时看网上资料空讲，难以理解，还是自己动手画一画，才好理解。这里记录下来，以防自己过久了忘记。

切入正题

先了解个概念：

最近公共祖先（Lowest Common Ancestors）（简称LCA），简单讲就是指在树上几个节点共有的祖先节点中，最近的那一个。

例如：3祖先（父亲）节点是2,1、4的祖先（父亲）节点是6,2,1，那么2,1就是这两个点的公共祖先节点，而2离这两个最近，所以2是他们的LCA。

那么怎么求这东西呢？

最简单的就是沿着这个点的父亲往上搜，记录下所有的祖先，然后同样做另外一个点，直到找到第一个相同的祖先。

不难发现这种方法其实很慢，而且可以进行优化，优化的方法很多。

这个优化对后来的倍增有帮助：就是我们不用只搜一个点，而是两个点同时搜。

先将深度更深的那个往上移动，直到两个点为同一层后，再两个点同时往上跳，这样可以快很多。

倍增：这是求LCA的快捷方法之一，而且是在线算法，时间复杂度为nlogn（预处理）+logn(查询一次），是挺快的，只是略慢于离线Tarjan算法，但在线是其一大方面优势。

从上面的优化中，我们可以发现，每次向上跳一个太慢了，我们可以尝试让其跳多个。

设up[x][i]表示x节点的第2^i个祖先是谁，自然有up[x][0]=dad[x];

学过RMQ的知道，up[x][i]=up[up[x][i-1]][i-1],也就是x节点的第2^i个祖先就是x节点第2*(i-1)个祖先的第2^(i-1)个祖先（这话有些绕口，自己画画图）。

至于这个i最大是多少，我们取log2n向上取整，需要提前算出来。

首先我们就先预处理这个up数组：

void dfs(int x)
{
up[x][0]=dad[x];
fo(i,1,M) up[x][i]=up[up[x][i-1]][i-1];
fo(i,1,f[x][0])
if (f[x][i]!=dad[x]) {
int u=f[x][i];
dad[u]=x;
deep[u]=deep[x]+1;
dfs(u);
}
}

接下来就是求祖先了，和上面一样，只是不再一个个跳，而是采用倍增思想，一次跳几个，但注意的是不可以跳过公共祖先哦！

if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);//其实换不换都无所谓了。
down(i,M,0)
if (deep[y]<=deep[up[x][i]]) x=up[x][i];//先把深度深的弄到同一层用倍增思想。
if (x==y) return x;//如果y是x祖先，那么lca就是y了。
down(i,M,0)
if (up[x][i]!=up[y][i]){//注意条件，不能跳过公共祖先。
x=up[x][i];
y=up[y][i];
}
return up[x][0];//不能跳过公共祖先，只能跳到其的子节点，那么这个节点的父亲就是lca

当然，一个LCA不够，还要去掌握离线tarjan。