树状数组Binary Indexed Trees详解与Java实现

WiKi

树状数组是由Peter Fenwick在1994年提出的，所以又称为Fenwick Tree。数组的区间求和的复杂度是O(n)，树状数组可以将数组区间求和的复杂度降低到O(lg n)。这对于长数组的高频率区间求和的应用场景来讲，可以提高效率。

参考

树状数组(Binary Indexed Trees)

搞懂树状数组

详解

这里从上面的参考中总结我的思路。

树状数组通过树形结构对原始数组进行预处理，树的每个节点存储了原始数组的某些区间和，这样，原始数组的区间和就可以通过树形结构将算法复杂度降低到O(lg n)。

例如，下图a数组是原始数组，而c数组就是对a数组进行预处理后的树行结构。



从a数组如何获得c数组呢？这里要借助lowBit(int K)函数。lowBit(int K)函数保留k的二进制最低位1的值。例如，1110保留最低位1即0010。

private static int lowBit(int k){
return k&-k;
}

从a数组和c数组满足下面的累加公式。即，c[i]等于从a数组从i开始向左累加lowBit(i)个值。



例如：

c[1]等于a数组从1开始向左累加lowBit(1)=1个，即c[1]=a[1];

c[2]等于a数组从2开始向左累加lowBit(2)=2个，即c[2]=a[2]+a[1];

……

c[7]等于a数组从2开始向左累加lowBit(7)=1个，即c[2]=a[7];

c[8]等于a数组从2开始向左累加lowBit(8)=8个，即c[2]=a[8]+a[7]+…a[1];

那么，构造好了c数组，求和就变得简单了。



直到求和下标为1即累加到了a[1]。



代码实现：

/**
* 计算1~index范围内和
* index一直减去lowBit(index)，直到index为0
* */
public int sum(int index){
if (index<1&&index>length) {
throw new IllegalArgumentException("Out of Range!");
}
int sum=0;
while (index>0) {
sum+=tree[index];
index-=lowBit(index);
}
return sum;
}

到这里，求和的方式已经介绍完毕。

两点注意：

1、实际上并没有一个原始数组a一直存在，否则就多耗费了一倍的存储空间。

2、数组一般从1开始算有效位，0位置为无效位，这样不容易混淆。

Java实现

这里实现了BinaryIndexedTree的类。

/**
* 树状数组的Java版本，created by 曹艳丰  2016.07.09
* 原理参考：http://www.hawstein.com/posts/binary-indexed-trees.html
* 或：https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/
* */
public class BinaryIndexedTree {
public int length;
private int[] tree;
/**
* 为了统一下标，所以tree[0]不被使用，数组有效范围1~length。
* */
public BinaryIndexedTree(int length){
this.length=length;
tree=new int[length+1];
}
/**
* 计算1~index范围内和
* index一直减去lowBit(index)，直到index为0
* */
public int sum(int index){
if (index<1&&index>length) {
throw new IllegalArgumentException("Out of Range!");
}
int sum=0;
while (index>0) {
sum+=tree[index];
index-=lowBit(index);
}
return sum;
}/**
* 计算start~end范围内和
* */
public int  sum(int start,int end) {
return sum(end)-sum(start-1);
}
/**
* index一直加上lowBit(index)，直到index为length。这些位置的值都加上value
* */
public void put(int index,int value){
if (index<1&&index>length) {
throw new IllegalArgumentException("Out of Range!");
}
while (index<=length) {
tree[index]+=value;
index+=lowBit(index);
}
}
/**
* index一直减去lowBit(index)，直到index为length。这些位置的值都加上value
* */
public int get(int index){
if (index<1&&index>length) {
throw new IllegalArgumentException("Out of Range!");
}
int sum=tree[index];
int z=index-lowBit(index);
index--;
while (index!=z) {
sum-=tree[index];
index-=lowBit(index);
}
return sum;
}
/**
* 保留k的二进制最低位1的值。例如，1110保留最低位1即0010.
* */
private static int lowBit(int k){
return k&-k;
}}

并进行了测试

import java.util.Random;

public class Main {

public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int length=15;
BinaryIndexedTree bTree=new BinaryIndexedTree(length);
Random random=new Random();
//随机放满数据
for (int i = 1; i <= bTree.length; i++) {
bTree.put(i, random.nextInt(100));
}
//取出每一位
for (int i = 1; i <= bTree.length; i++) {
int value=bTree.get(i);
System.out.printf("%3d",value);
System.out.print("  ");
}
System.out.println();
//计算0~i的和
for (int i = 1; i <= bTree.length; i++) {
int sum=bTree.sum(i);

System.out.printf("%3d",sum);
System.out.print("  ");
}
System.out.println();
//计算start~end的和
System.out.printf("%3d",bTree.sum(2,4));
}

}