【编程马拉松】【024-放苹果】
2016-07-09 07:47
260 查看
【编程马拉松算法目录】
【024-放苹果】【工程下载>>>】
1 题目描述
把 M 个同样的苹果放在 N 个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?注意:5、1、1 和 1、5、1 是同一种分法,即顺序无关。
1.1 输入描述:
输入包含多组数据。每组数据包含两个正整数 m和n(1≤m, n≤20)。
1.2 输出描述:
对应每组数据,输出一个整数k,表示有k种不同的分法。1.3 输入例子:
7 3
1.4 输出例子:
8
2 解题思路
2.1 解法一
放苹果,后一个盘子不能比前一个盘子放的平果数多。可以用动态规划算法实现,但是存在子问题重叠,时间复杂度高。2.2 解法二
设f(m,n)为m个苹果,n个盘子的放法数目,则先对n作讨论,* 当n>m:必定有n-m个盘子永远空着,去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m)f(m,n)=f(m,m)
* 当n<=m:不同的放法可以分成两类:
(a)有至少一个盘子空着,即相当于f(m,n)=f(m,n-1);
(b)所有盘子都有苹果,相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果,不影响不同放法的数目,即f(m,n)=f(m-n,n).而总的放苹果的放法数目等于两者的和,即f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)递归出口条件说明:当n=1时,所有苹果都必须放在一个盘子里,所以返回1;当没有苹果可放时,定义为1种放法;递归的两条路,第一条n会逐渐减少,终会到达出口n==1;第二条m会逐渐减少,因为n>m时,我们会returnf(m,m) 所以终会到达出口m==0.
综上递推公式为:
f(m,n)=⎧ ⎩ ⎨ 1f(m,m)f(m,n−1)+f(m−n,n) m=0orn=1n>m>0m≥n>1
2.3 解法三
该问题可以变形为:求将一个整数m划分成n个数有多少种情况,其公式为:dp[m][n]={1dp[m−n][n]+dp[m−1][n−1] n=1n>1
对于变形后的问题,存在两种情况:
(a) n份中不包含1的分法,为保证每份都>=2,可以先拿出n个1分到每一份,然后再把剩下的m-n分成n份即可,分法有:dp[m-n]
(b) n份中至少有一份为1的分法,可以先那出一个1作为单独的1份,剩下的m-1再分成n-1份即可,分法有:dp[m-1][n-1]
要求可以放苹果的数,m可以被划分为1到k(k=min{n,m}),所以总的方置方法数有dp[m][1]+…+dp[m][k]
这种方式和解法二非常相似,只是思考的角度不一样。
3 算法实现
import java.util.Scanner; /** * Author: 王俊超 * Time: 2016-05-24 20:28 * CSDN: http://blog.csdn.net/derrantcm * Github: https://github.com/Wang-Jun-Chao * Declaration: All Rights Reserved !!! */ public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); // Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data.txt")); while (scanner.hasNext()) { int m = scanner.nextInt(); int n = scanner.nextInt(); System.out.println(placeApple4(m, n)); } scanner.close(); } ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // 【解法三】 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// /** * 放苹果 * 变形:求将一个整数m划分成n个数有多少种情况 * dp[m] = dp[m-n] + dp[m-1][n-1]; 对于变形后的问题,存在两种情况: * 1. n 份中不包含 1 的分法,为保证每份都 >= 2,可以先拿出 n 个 1 分到每一份, * 然后再把剩下的 m- n 分成 n 份即可,分法有: dp[m-n] * 2. n 份中至少有一份为 1 的分法,可以先那出一个 1 作为单独的1份,剩下的 m- 1 再分成 n- 1 份即可, * 分法有:dp[m-1][n-1] * 3. 要求可以放苹果的数,m可以被划分为1到k(k=min{n, m}),所以总的方置方法数有dp[m][1]+...+dp[m][k] * @param m 苹果个数 * @param n 盘子个数 * @return 共的放法数目 */ /** * 【非递归实现】 * 放苹果 * * @param m 苹果个数 * @param n 盘子个数 * @return 共的放法数目 */ private static int placeApple4(int m, int n) { int row = m + 1; int col = n + 1; // 最多可以放的盘子个数 int min = Math.min(m, n); int[][] dp = new int[row][col]; // 只有一个盘子时,则只有一种放法 for (int i = 1; i < row; i++) { dp[i][1] = 1; } for (int i = 1; i < row; i++) { for (int j = 2; j < col; j++) { if (i > j) { dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i - 1][j - 1]; } else if (i == j) { dp[i][j] = 1; } } } int rst = 0; for (int i = 1; i <= min; i++) { rst += dp[m][i]; } return rst; } ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // 【解法二】 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// /** * 解题分析: * 设f(m,n) 为m个苹果,n个盘子的放法数目,则先对n作讨论, * 当n>m:必定有n-m个盘子永远空着,去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m) * 当n<=m:不同的放法可以分成两类: * 1、有至少一个盘子空着,即相当于f(m,n) = f(m,n-1); * 2、所有盘子都有苹果,相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果,不影响不同放法的数目,即f(m,n) = f(m-n,n). * 而总的放苹果的放法数目等于两者的和,即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) * 递归出口条件说明: * 当n=1时,所有苹果都必须放在一个盘子里,所以返回1; * 当没有苹果可放时,定义为1种放法; * 递归的两条路,第一条n会逐渐减少,终会到达出口n==1; * 第二条m会逐渐减少,因为n>m时,我们会return f(m,m) 所以终会到达出口m==0. */ /** * 【非递归实现】 * 放苹果 * * @param m 苹果个数 * @param n 盘子个数 * @return 共的放法数目 */ private static int placeApple3(int m, int n) { int row = m + 1; int col = n + 1; int[][] dp = new int[row][col]; for (int i = 0; i < row; i++) { dp[i] = new int[n + 1]; } for (int i = 0; i < row; i++) { for (int j = 1; j < col; j++) { if (i == 0 || j == 1) { dp[i][j] = 1; continue; } if (j > i) { dp[i][j] = dp[i][i]; } else { dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j]; } } } return dp[m] ; } /** * 【递归实现】 * 放苹果 * * @param m 苹果个数 * @param n 盘子个数 * @return 共的放法数目 */ private static int placeApple2(int m, int n) { //m个苹果放在n个盘子中共有几种方法 //因为我们总是让m>=n来求解的,所以m-n>=0,所以让m=0时候结束,如果改为m=1, //则可能出现m-n=0的情况从而不能得到正确解 if (m == 0 || n == 1) { return 1; } if (n > m) { return placeApple2(m, m); } else { return placeApple2(m, n - 1) + placeApple2(m - n, n); } } ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // 【解法一】下面的方法时间复杂度过高,发生了子问题重叠 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// /** * 放苹果 * * @param m 苹果个数 * @param n 盘子个数 * @return 共的放法数目 */ private static int placeApple(int m, int n) { // 用于保存结果 int[] rst = {0}; // 第一个盘子数放的苹果数 placeApple(m, n, m, rst); // 下面和上面一行实现同样的效果 // for (int i = m; i >= 0; i--) { // placeApple(i, n - 1, m - i, rst); // } return rst[0]; } /** * 放苹果,后一个盘子不能比前一个盘子放的平果数多 * * @param max 当前盘子最多可以放多少个苹果 * @param n 剩下要放的盘子数目 * @param left 剩下的苹果数目 * @param rst 保存结果 */ private static void placeApple(int max, int n, int left, int[] rst) { // 放最后可以放的盘子 if (n == 1) { // 还剩下left个,不能为负数,可以选择的数目大于剩下的数目 if (max >= left && left >= 0) { rst[0]++; } } // 不是最后一个可以 else if (n > 1) { // 当前盘子可以放[0,max个] for (int i = max; i >= 0; i--) { placeApple(i, n - 1, left - i, rst); } } } }
4 测试结果
5 其它信息
因为markddow不好编辑,因此将文档的图片上传以供阅读。Pdf和Word文档可以在Github上进行【下载>>>】。相关文章推荐
- python socket和socketserver
- javaWeb开发中读取资源文件方法总结
- 15.8 C语言复合数据类型
- String.split
- PhpStorm 常用快捷键和配置
- java设置一段代码执行超时时间
- 原来Github上的README.md文件这么有意思——Markdown语言详解
- 大家的编程(Python入门)-第三周Quiz
- Using qt to develop maya plugin on windows
- Visual Studio的输出窗口上输出调试信息的函数
- Try Pangolin (6) - SimpleRecord
- Java多线程01_可重入函数、可重入锁
- Ubuntu16.04配置ftp服务器
- java设计模式:(策略模式)
- std::min error C2059: 语法错误:“::” 的解决方法
- spring springdata jpa 报错
- Intellij IDEA中Hibernate中创建的数据类中,无法发现table和列
- java自学循环与选择性语句及表达式语句运算
- 用JAVA日志来写诗
- Java 线程同步(wait、notify、notifyAll)