欧几里德算法的证明

在学习算法的过程中，与欧几里德算法来了一次邂逅，于是又去学习了一下。。。

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个数的最大公约数。

定理：

设a=qb+r，其中a,b,q,r都是正整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a(modb))。

在网上看到的证明方法大多是这样：

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r

因此d也是（b,a mod b）的公约数

因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

不过对于这个证明过程的最后两句结论有个疑问：

“因此d也是（b,a mod b）的公约数”这句没什么问题，但是同样也可以得到“d也是（a,a mod b）的公约数”。

而这个结论“因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等”就完全不知道是怎么得出的。。。

后面和老师沟通了一下，其实这个证明过程是有问题的。

“因此d也是（b,a mod b）的公约数”这个结论并不能得出“因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的”。只能得出“如果d是(a,b)的公约数，那么也d是（b,a mod b）的公约数”的结论，如果d是(a,b)的最大公约数，但d不一定是（b,a mod b）的最大公约数。所以并不能证明“（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的”。

完整的证明过程应该是这样：

a可以表示成a=kb+r（a，b，k，r皆<
4000
/span>为正整数；且a>b）

则r=amodb

假设d是a,b的一个公约数，为了方便，我们记d=(a,b)

则d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r=a−kb

两边同时除以d得到

r/d=a/d−kb/d

因为d|a,d|b，显然可以得到d|r

所以d是r的一个约数，因此d是（a,b,r）的公约数，即d=(a,b,r)

设A是(a,b)的公约数集，B是(b,r)的公约数集，R是(a,r)的公约数集

那么可以得到A⊆B,A⊆R

可见现在并不能得到(a,b)和(b,r)的公约数相同

只能说(a,b)的公约数是(b,r)公约数的一部分，同时也是(a,r)公约数的一部分

假设d′是(b,r)的公约数，则d′|b,d′|r； a=kb+r，等式两边都除以d′,可得

a/d′=(kb+r)/d′=kb/d′+r/d′ 因为d′|b,d′|r； 显然d′|a

所以如果d′=(b,r),那么在a=kb+r的情况下，d′也是a的约数，d′=(a,b,r)

因此(b,r)的约数集是(a,b)的约数集的一部分，也是(a,r)约数集的一部分 所以B⊆A，B⊆R 综上，A=B

由此得证，(a,b)的公约数与(b,r)的公约数相同，当然它们的最大公约数也必定相同。 即

　　　　　　　　　　　　gcd(a,b)=gcd(b,r)

可见必须要满足两个条件才能得到(a,b)的公约数与(b,r)的公约数是相同的结论。

条件一：

假设d=（a,b），那么在a=qb+r的情况下，有 d=（b,r）

即证明A⊆B

条件二：

假设d=（b,r），那么在a=qb+r的情况下，有 d=（a,b）

即证明B⊆A

而网上的那个方法只是证明了条件一，所以并不能得出最后的结论。

在证明条件一的时候，也得到了d=（a,b）,A⊆R

那么是否能得到A=R成立呢?

同样，我们也需要证明条件二是否成立，

即

“假设d=（a,r），那么在a=qb+r的情况下，有d=（a,b）”是否成立。

假设d=（a,r
4000
）,则d|a,d|r

在a=qb+r等式两边同时除以d，得到

a/d=(qb+r)/d=qb/d+r/d

因为d|a,d|r，所以我们能得到d|qb成立，但是并不能得到d|b成立

因此，假设d=（a,r），那么在a=qb+r，且d|q时，才有d=（a,b）

显然这个没什么意义。。。

其实A=R是不成立的，大家可以试试证明一下，这里就不证明了。

另外还有另一种证明方法：

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），得证

—– 有的人活着，他已经死了，有的人死了，也不让人好好活，比如欧几里德、徐志摩。。。