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题目大意

给定一幅n个节点的有向图,定义d(u,v,w)为从点u出发,不经过点v,到达点w的最短路长度(如果不存在则为−1).

求∑y≠x,y≠zd(x,y,z).

4≤n≤300,边权0≤cost≤104.

题解

暴力的做法就是枚举不经过的点y然后跑Floyd,复杂度是O(n4)的.

实际上对于枚举的一个y,除了y之外其他所有的点都会作为Floyd的中间点枚举到,并且这个枚举的顺序不会影响算法的正确性,所以可以用一个奇妙的分治算法,一次用一个中间点去更新多个邻接矩阵的最短路.

这个分治不太好说清楚,但是看了代码就懂了.

复杂度是O(n3lgn).

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=305,LG=10,INF=1e9;
int n;
ll ans=0;
int mat[LG]

;
inline void Max(int &a,int b){
if(b>a)a=b;
}
inline void Min(int &a,int b){
if(a==-1||b<a)a=b;
}
void solve(int L,int R,int dep){
if(L==R){
for(int i=1;i<=n;++i){
if(i==L)continue;
for(int j=1;j<=n;++j){
if(j==L)continue;
ans+=mat[dep][i][j];
}
}
return;
}
int mid=L+R>>1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
mat[dep+1][i][j]=mat[dep][i][j];
for(int k=mid+1;k<=R;++k)
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
if(mat[dep+1][i][k]!=-1&&mat[dep+1][k][j]!=-1)
Min(mat[dep+1][i][j],mat[dep+1][i][k]+mat[dep+1][k][j]);
solve(L,mid,dep+1);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
mat[dep+1][i][j]=mat[dep][i][j];
for(int k=L;k<=mid;++k)
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
if(mat[dep+1][i][k]!=-1&&mat[dep+1][k][j]!=-1)
Min(mat[dep+1][i][j],mat[dep+1][i][k]+mat[dep+1][k][j]);
solve(mid+1,R,dep+1);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j){
scanf("%d",&mat[0][i][j]);
}
solve(1,n,0);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}