二叉树

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作者:小马

一 二叉树的一些概念

二叉树就是每个结点最多有两个子树的树形存储结构。先上图，方便后面分析。



 

1 满二叉树和完全二叉树

 

上图就是典型的二叉树，其中左边的图还叫做满二叉树，右边是完全二叉树。然后我们可以得出结论，满二叉树一定是完全二叉树，但是反过来就不一定。满二叉树的定义是除了叶子结点，其它结点左右孩子都有,深度为k的满二叉树，结点数就是2的k次方减1。完全二叉树是每个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n一一对应。

 

2 树的深度

树的最大层次就是深度，比如上图，深度是4。很容易得出，深度为k的树，拥有的最大结点数是2的k次方减1。

 

3 树的孩子，兄弟，双亲

上图中，B,C是A的孩子，B,C之间互为兄弟，A是B,C的双亲。

 

二如何创建二叉树

先说说二叉树的存储结构，跟很多其它模型一样，也有顺序和链式两种方式。前者虽然使用简单，但是存在浪费空间的问题，举个例子，下图的二叉树，用顺序的方式存储(0表示空，没有子树)是:

1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 8 0 0 0

 



 

是不是相当浪费空间呢。

 

链式结构可以定义如下:

[cpp] view
plain copy

 





typedef struct _BiTNode  

{  

    int data;  

    _BiTNode *leftChild;  

    _BiTNode *rightChild;  

}BiTNode, *pBiTree;  

然后就可以写一个函数来创建二叉树，过程是在控制台输入a表示退出当前这一层,不再为该层创建左右孩子。输入其它字母表示继续创建。比如下面的输入序列：



 

创建了如下结构的二叉树,



 

 

每个结点里的数值是随机生成的小于100的数字。同时我也写了一个自动的命令序列函数，方便测试，不用手动输入，非自动和自动创建的函数如下:

[cpp] view
plain copy

 





//创建二叉树, 先序顺序  

int CreateBiTree(pBiTree *root)  

{  

    char ch = 0;  

    fflush(stdin);  

    if ((ch = getchar()) == 'a')//控制树的结构  

    {  

        *root = NULL;  

    }  

    else  

    {  

        *root = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));  

        if (!(*root))  

        {  

            return RET_ERROR;  

        }  

        (*root)->data = GetRandom();  

        CreateBiTree(&(*root)->leftChild);  

        CreateBiTree(&(*root)->rightChild);  

    }  

    return RET_OK;  

}  

  

int g_i = 0;  

//创建二叉树,自动执行，方便测试  

int CreateBiTreeAuto(pBiTree *root)  

{  

    char szOrder[] = "bbaabaa";  

    char ch = 0;  

    if (szOrder[g_i++] == 'a')//控制树的结构  

    {  

        *root = NULL;  

    }  

    else  

    {  

        *root = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));  

        if (!(*root))  

        {  

            return RET_ERROR;  

        }  

        (*root)->data = GetRandom();  

        CreateBiTreeAuto(&(*root)->leftChild);  

        CreateBiTreeAuto(&(*root)->rightChild);  

    }  

    return RET_OK;  

}  

三遍历顺序

 

先序遍历

先序遍历是先访问根结点，再左子树，再右子树，比如图1中的右图，先序遍历的输出如下:

A,B,D,H,I,E,J,K,C,F,G

 

根据上面的思想，很容易用递归的形式写出先序遍历的代码：

[cpp] view
plain copy

 





//先序遍历  

int PreOrderVisitTree(pBiTree T, VisitType pFuncVisit)  

{  

    if (T)  

    {  

        (*pFuncVisit)(T->data);  

        if (PreOrderVisitTree(T->leftChild, pFuncVisit) == RET_OK)  

        {  

            if (PreOrderVisitTree(T->rightChild, pFuncVisit) == RET_OK)  

            {  

                return RET_OK;  

            }  

        }  

        return RET_ERROR;  

    }  

    else  

    {  

        return RET_OK;  

    }  

}  

中序遍历和后序遍历

 

有了先序的经验，这两个就很好理解了，中序是先访问左子树, 再根结点，再右子树, 后序是先访问左子树, 再右子树，再根结点。代码更容易，只要改一下调用顺序就可以了。

 

不过我这里给出一种非递归的实现。递归固然是清晰明了，但是存在效率低的问题，非递归的方案用栈结构来存结点信息，通过出栈访问来遍历二叉树。它思想是这样的，当栈顶中的指针非空时，遍历左子树，也就是左子树根的指针进栈。当栈顶指针为空时，应退至上一层，如果是从左子树返回的，访问当前层，也就是栈顶中的根指针结点。如果是从右子树返回，说明当前层遍历完毕，继续退栈。代码如下:

[cpp] view
plain copy

 





//中序遍历, 非递归实现  

int InOrderVisitTree(pBiTree T, VisitType pFuncVisit)  

{  

    ponyStack binaryTreeStack;  

    InitStack(&binaryTreeStack, 4);  

    Push(&binaryTreeStack, &T);  

    pBiTree pTempNode;  

  

    while (!IsEmptyStack(binaryTreeStack))  

    {  

        while((GetTop(binaryTreeStack, &pTempNode) == RET_OK) && (pTempNode != NULL))  

        {  

            Push(&binaryTreeStack, &(pTempNode->leftChild));  

        }  

        Pop(&binaryTreeStack, &pTempNode);  

        if (!IsEmptyStack(binaryTreeStack))  

        {  

            Pop(&binaryTreeStack, &pTempNode);  

            (*pFuncVisit)(pTempNode->data);  

            Push(&binaryTreeStack, &(pTempNode->rightChild));  

        }  

    }  

    return RET_OK;  

}