leetcode——Find the Duplicate Number

题目：

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and
n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Note:

You must not modify the array (assume the array is read only).
You must use only constant, O(1) extra space.
Your runtime complexity should be less than

O(n2)

.
There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.
方法一：二分法

分析：

        n+1个数属于区间[1, n]，必然存在重复（抽屉原则），抽象地，超过(b-a+1)个数属于区间[a, b]必然也存在重复。比较粗鲁的方式是在nums中分别搜索1~n，判断有没有重复，时间复杂度o(n^2)不行。一定需要遍历数组n次么？可不可以少一点呢？

        考察n/2，遍历nums，如果小于等于n/2的数超过n/2，那么区间[1, n/2]中必然存在重复；如果不超过n/2，说明属于区间[n/2+1, n]中的数(n+1-n/2)大于n/2，因此区间[n/2+1, n]中必然存在重复的数。利用这种方式可以折半查找区间，时间复杂度(nlgn)。

class Solution {
public:
int findDuplicate(vector<int>& nums) {
int first = 1, last = nums.size() - 1;//两边都是闭区间
while (first < last) //如果first==last，那么first就是要找的数
{
int mid = first + (last - first) / 2;
//统计小于等于mid的数的个数
int count = 0;
for (auto p : nums)
{
if (p <= mid)
{
++count;
}
}
//分成两个区间[first, n/2]和[n/2+1, last]
if (count > mid) //[1, 2, ..., n/2]共n/2个数，如果count > n/2，那么必然存在重复
{
last = mid;
}
else
{
first = mid + 1;
}
}
return first;
}
};
方法二：链表找环 https://segmentfault.com/a/1190000003817671         假设数组中没有重复，那我们可以做到这么一点，就是将数组的下标和1到n每一个数一对一的映射起来。比如数组是213,则映射关系为0->2, 1->1, 2->3。假设这个一对一映射关系是一个函数f(n)，其中n是下标，f(n)是映射到的数。如果我们从下标为0出发，根据这个函数计算出一个值，以这个值为新的下标，再用这个函数计算，以此类推，直到下标超界。实际上可以产生一个类似链表一样的序列。比如在这个例子中有两个下标的序列，0->2->3。

        但如果有重复的话，这中间就会产生多对一的映射，比如数组2131,则映射关系为0->2, {1，3}->1, 2->3。这样，我们推演的序列就一定会有环路了，这里下标的序列是0->2->3->1->1->1->1->...，而环的起点就是重复的数。

        所以该题实际上就是找环路起点的题，和Linked List Cycle II一样。我们先用快慢两个下标都从0开始，快下标每轮映射两次，慢下标每轮映射一次，直到两个下标再次相同。这时候保持慢下标位置不变，再用一个新的下标从0开始，这两个下标都继续每轮映射一次，当这两个下标相遇时，就是环的起点，也就是重复的数。

class Solution {
public:
int findDuplicate(vector<int>& nums) {
int slow = 0, fast = 0;
do
{
slow = nums[slow];
fast = nums[nums[fast]];//每次跨过两个结点
}
while (slow != fast);

//再定义一个慢指针从起点出发，与slow相遇在环的入口
int find = 0;
while (slow != find)
{
slow = nums[slow];
find = nums[find];
}
return find;
}
};