平衡二叉树（AVL）树

1、平衡二叉树定义

是一种二叉排序树（二叉查找树、二叉搜索树），其中每个节点的左子树和右子树的高度差不大于1。（左右子树也是平衡二叉树）

平衡因子BF = 二叉树节点的左子树深度减去右子树深度 = 节点的平衡因子（BF）

最小不平衡子树：距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树。

为了提高查找效率，把二叉排序树构造成平衡二叉树。平衡二叉树的查找、插入和删除的时间复杂度都是O(logn)，最坏情况下，二叉排序树的查找时间复杂度是O（n）即非常不平衡的斜树。所以要构造平衡二叉树提高查找效率。

2、平衡二叉树的构建方法：

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于 1 的结点作为根的子树。假设用 A 表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

（ 1 ） RR 型平衡旋转法(右旋)

由于在 A 的左孩子 B 的左子树上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 1 增至 2 而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将 A 的左孩子 B 向右上旋转代替 A 作为根结点， A 向右下旋转成为 B 的右子树的根结点。而原来 B 的右子树则变成 A 的左子树。



（ 2 ） LL 型平衡旋转法（左旋）

由于在 A 的右孩子 C 的右子树上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 -1 减至 -2 而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将 A 的右孩子 C 向左上旋转代替 A 作为根结点， A 向左下旋转成为 C 的左子树的根结点。而原来 C 的左子树则变成 A 的右子树。



（ 3 ） LR 型平衡旋转法（左右）

由于在 A 的左孩子 B 的右子数上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 1 增至 2 而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将 A 结点的左孩子 B 的右子树的根结点 D 向左上旋转提升到 B 结点的位置，然后再把该 D 结点向右上旋转提升到 A 结点的位置。即先使之成为 LL 型，再按 LL 型处理 。



如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到 A 的左子树上，此时成为 LL 型，再按 LL 型处理成平衡型。

（ 4 ） RL 型平衡旋转法（右左）

由于在 A 的右孩子 C 的左子树上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 -1 减至 -2 而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将 A 结点的右孩子 C 的左子树的根结点 D 向右上旋转提升到 C 结点的位置，然后再把该 D 结点向左上旋转提升到 A 结点的位置。即先使之成为 RR 型，再按 RR 型处理。



如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到 A 的左子树上，此时成为 RR 型，再按 RR 型处理成平衡型。

平衡化靠的是旋转。 参与旋转的是 3 个节点（其中一个可能是外部节点 NULL ），旋转就是把这 3 个节点转个位置。注意的是，左旋的时候 p->right 一定不为空，右旋的时候 p->left 一定不为空，这是显而易见的。

如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现 bf == 2 或者 bf == -2 的节点。