匈牙利算法
2016-07-02 13:08
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首先,匈牙利算法是用来求二分图的最大匹配的,它的核心问题就是找增广路径。匈牙利算法的时间复杂度为O(VE),其中
V为二分图左边的顶点数,E为二分图中边的数目。
现在我们来看看增广路有哪些性质:
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。
(7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原
匹配中删除(这个操作称为增广路径的取反),则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
当然,匹配开始时我们任意选择一边的所有点为起始点找增广路径,由增广路的性质可以看出,每找到一条增广路径,匹配
数增加1。
很多问题都可以转化为二分图匹配模型。二分图有如下几种常见变形:
(1)二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。
Knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。
(2)DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
(3)二分图的最大独立集
最大独立集问题: 在N个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边.求m最大值
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)— 最大匹配数(m)
V为二分图左边的顶点数,E为二分图中边的数目。
现在我们来看看增广路有哪些性质:
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。
(7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原
匹配中删除(这个操作称为增广路径的取反),则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
当然,匹配开始时我们任意选择一边的所有点为起始点找增广路径,由增广路的性质可以看出,每找到一条增广路径,匹配
数增加1。
很多问题都可以转化为二分图匹配模型。二分图有如下几种常见变形:
(1)二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。
Knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。
(2)DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
(3)二分图的最大独立集
最大独立集问题: 在N个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边.求m最大值
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)— 最大匹配数(m)
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