现代控制理论2

状态转移矩阵


，对应齐次微分方程的自由解，也记作

，转移矩阵的逆意味着时间的逆转，它是意义就是：当前状态左乘上状态转移矩阵，就能得到t时刻的状态，因此就称为状态“转移”矩阵吧。

求

，三种方法：

定义按e指数展开

变为约旦标准型

求 SI-A 的逆的拉普拉斯逆变换

线性定常系统非齐次方程的解的形式相当于是零输入加零状态响应，零输入响应就是由初始状态左乘状态转移矩阵啦，零状态响应就是状态转移矩阵和输入做卷积再乘以一个B矩阵，具体形式可自行查阅。

系统的能观性和能控性

能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力，能观性反映输出y(t)对状态x(t)的反映能力，而经典的控制理论只讨论输入对输出的控制作用，它们的关系由传递函数唯一确定。但是在现代控制理论中，系统由状态空间表达式描述，而传递函数，仅仅是其中能观且能控的子空间的描述。

能控性

输出对状态的控制能力，完全能控的话，也就是说我的输入能够改变每一个状态的值，并且使它在有限时间内达到我想要的任意值（任意的最终状态）。突出一个“控”字。

对于能控性的判别方法，有经验的人通过状态方程就可以看出，但是通过能控性判别矩阵判断则是通杀的方法。联系上传递函数，则要求传递函数没有零极点相消的情况。因为如果约去一个公因子的话，相当于状态变量减少一维，系统就出现了一个低维能控子空间和一个不能控的子空间。

能观性

通过系统的输出获得系统状态的信息。对于任意给定的输入，通过在有限时间内的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态。有一种追本溯源的意味，突出一个“观”字。

同样的，对于能观性，可以通过状态方程就可以看出，但是通过能观性判别矩阵判断则是通杀的方法。

对偶原理

对于系统

，它的对偶系统为

，两个对偶系统的传递函数矩阵互为转置。直观上看，一个系统的对偶系统，它的框图就是原系统倒过来走，输出变输入，输入变输出。线性系统的能控性和它对偶系统的能观性相同，线性系统的能观性和它对偶系统的能控性相同。

关于这一部分，还有很多记忆性的知识点，能控I型和能观II型的状态方程的写法，最小实现的方法等等，就不一一叙述，具体方法可参考各种教科书