HDU 4599 Dice(概率dp)

F(n)表示连续扔出1个数字朝上n次的期望

H(n)表示连续扔出1朝上n次的期望

G(n)表示扔出n次1朝上的期望

怎么推导这几个公式呢。

考虑dp[i]表示已经扔了i次某个数字朝上的还需要多少次才能完成的期望

转移是dp[i]=16(1+dp[i+1])+56(1+dp[1]),dp[n]=0,dp[0]=1+dp[1]

因为要么变为连续i+1次朝上，要么扔出其他的面，则变成dp[1]

如何来求dp[1]呢，我们可以使用待定系数法，观察到每个dp[i]里面都有dp[1]

设dp[i]=A[i]dp[1]+B[i]dp[i]=16(1+A[i+1]dp[1]+B[i+1])+56(1+dp[1])dp[i]=(16A[i+1]+56)dp[1]+1+16B[i+1]所以可以得到A[i]=16A[i+1]+56B[i]=1+16B[i+1]并且得到dp[1]=A[1]dp[1]+B[1]dp[1]=B[1]1−A[1]dp[0]=dp[1]+1这样就可以求出dp[0]了，最后得到结果F(n)=6n−15并且猜想H(n)=6F(n)因为F是可以任意数字连续n次，H是必须是1，概率是原来的六分之一，所以期望是6倍G(n)=6n这个必然是的，6次中有1次是1，所以6n次可以得到n次1

然后就是求答案咯，第一个解是6n≥6n−15n≥6n−130然而这里需要考虑到6n−1并不能整除30，6n%30=6，所以n是一个整数，应该为n≥6n+2430≥6n−130然后求逆元即可。

第二个值为6n≥6(6n−1)5n≥6n−156n−1可以整除5，所以后面这个值就是个整数，可以直接求逆元

代码

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define   MAX           100005
#define   MAXN          6005
#define   maxnode       15
#define   sigma_size    30
#define   lson          l,m,rt<<1
#define   rson          m+1,r,rt<<1|1
#define   lrt           rt<<1
#define   rrt           rt<<1|1
#define   middle        int m=(r+l)>>1
#define   LL            long long
#define   ull           unsigned long long
#define   mem(x,v)      memset(x,v,sizeof(x))
#define   lowbit(x)     (x&-x)
#define   pii           pair<int,int>
#define   bits(a)       __builtin_popcount(a)
#define   mk            make_pair
#define   limit         10000

//const int    prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
//const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-8;
//const LL    mod    = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9');
x=c-'0';
while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}
/*****************************************************/

const int mod = 2011;

int qpow(int a,int n){
int ans=1;
while(n){
if(n&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
int n;
while(cin>>n&&n){
cout<<(((qpow(6,n)+24)%mod+mod)*qpow(5,mod-2)%mod)*qpow(6,mod-2)%mod<<" ";
cout<<((qpow(6,n)-1)%mod+mod)*qpow(5,mod-2)%mod<<endl;
}
return 0;
}