HDOJ 1299 Diophantus of Alexandria

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1299

这是一道看起来很复杂其实很简单的题目，只要稍微把式子化简一下就能够得到答案。

首先我们需要解出来的是一个1/x+1/y = 1/n这个式子的解的个数，那么我们先设x = n+k，这样我们就能够解出来y = n*n/k + n，要得到原式，也就是说我们要得到能够被n*n整除的k，那么问题变成了求n*n的因子个数，小编这里本来就像dp打表每一个数的质数的个数了，但是后来才发现这是不可能的，n的范围是10^9，那么n^2就是10^18，这连数组都开不出来，根本不可能打表，那么我们还得进一步的优化。

一个数总是能够分解成一些质因子的成绩的形式，n = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3……那么我们可以通过排列组合的方式得到n的因子个数为(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)……小编这里解释一下为什么是这样的，n的因子可以看成是这些质因子任意个数组合而成的，而一个质因子所取的个数的种类为kn+1(+1是因为可以不取)个，那么狠显然n^2的因子个数就为(2k1+1) * (2k2+1) * (2k3+1)……所以问题又变成了一个素数拆分的问题，那么问题就变得简单了，直接从2开始遍历就可以得到答案。

但是这样就完了吗，显然还没有，因为如果算n的因子个数会有重复的答案，因为一组n^n的因子我们实际上是算了两次，比如说k = 2,1/6+1/12 = 1/4和k = 8,1/12+1/6这两种情况实际上我们只能算是一种情况，所以我们得对答案除以2，但是因为我们是算n^2的因子，所以一定有一个因子是n，而这个n的因子我们本来就只算了一次，所以我们要加回来，得到的这个就是正确答案了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int T,n,t=1;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%d", &n);
int sum = 1;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
int num = 0;
while(n % i == 0)
{
num++;
n /= i;
}
sum *= (2*num+1);
}
if(n != 1) sum *= 3;
printf("Scenario #%d:\n%d\n\n",t++,sum/2+1);
}
return 0;
}