漫游器在椭球上的定位和变换

漫游器的使用场景非常丰富，osg的osgGA库中包含了许多常用的漫游器类型，如：最常见的TrackballManipulator（轨迹球漫游器）、DriveManipulator（驾驶漫游器）、FirstPersonManipulator（类似于第一人称射击游戏漫游器）等，根据不同的应用领域可以定制各种实用的漫游器。本文主要对常用的GIS类软件中使用的地形漫游器（如Google Earth）中的一些数学变换做一些学习记录。

地理坐标系统
（1）ECEF坐标系统

在常用的漫游器软件开发中，一般使用一种以地心为坐标原点的坐标系统，一般称之为ECEF坐标（Earth-CenteredEarth-Fixed），这个坐标系是一个三维的直角坐标系统。这与我们常常使用的经纬坐标不同，使用经纬坐标对于计算来说并不方便。下面我们对这个坐标系统做一些描述，这个ECEF在不同基准面坐标下并不是等价的（比如WGS84坐标基准和我国西安80的坐标基准，也就是说对每一个基准面都可以建立它们各自的ECEF坐标系统，ECEF的约定如下：

（a）坐标原点是地球的质心
（b）Z轴是过原点并指向北极的轴
（c）X和Y轴都是在赤道平面，X轴是过英国格林尼治天文台（0度经线处），Y轴与X和Z构成右手系）



（2）NEU坐标系统（North-East-Up）

在围绕地球运动的航天器中使用的最广泛的是一个称之为 Local Tangent Plane（LTP）的局部切平面坐标系统，这个坐标系统的定义如下：

（a）N和E方向组成的坐标轴是在椭球表面某一点的切平面上

（b）E方向（局部坐标的x轴）指向椭球局部向东的方向

（c）N方向（局部坐标的y轴）指向局部经线的向北方向

（d）U方向（局部坐标的z轴）沿着椭球表面的法线方向



坐标系统之间的转换
从ECEF到NEU（有的地方也成NED，与NEU仅仅局部z轴方向相反）坐标之间需要经过旋转和平移操作，我们首先计算旋转，可以先计算NEU坐标轴的方向向量。在计算之前有些概念需要先了解一下，地球上某一点的纬度值可以有以下两种：Geocentric Latitude和Geodetic Latitude，前者是地球上的点到椭球中心的连线与赤道平面的夹角，后者是地球上点法线方向与赤道平面的夹角，如下图所示：



如果我们使用Geocentric latitude的方式进行计算，那么计算NEU坐标三个轴的方向比较简单，如下图所示：



假设局部坐标原点是P（在椭球表面）的坐标是（x,y,z)，椭球的中心是O，那么NEU局部坐标的z轴方向就是向量 OP（，假设OP的长度是R，那么可以得到：P点的坐标是：



O点的坐标是（0,0,0），因此OP方向向量是



局部坐标的向东的方向（局部坐标y轴方向）PE垂直于PN和PO组成的平面（经线平面），因此它与ECEF坐标x轴的夹角是：



因此PE方向向量是



PN的方向向量（up叉乘east得到）是：



另外平移的距离是P点在ECEF世界坐标中的位置，一般通过P点的经纬度通过计算得到，于是ECEF世界坐标转到NEU的转换矩阵是：



其中最后一行的X Y Z是局部坐标原点在ECEF世界坐标中的值（备注：以上转换都是使用 行向量的方式进行的）

上面的方式看着十分自然，但是其实是有问题的，因为PO连线并不垂直与椭球表面，不是椭球的法线方向，我们真正需要使用的应该是Geodetic的纬度值进行计算，这个计算相对复杂一下，如下图所示：



首先我们计算Up的方向（在图中是AOn这个向量），通过计算A点和On这两点的坐标计算这个向量，On的坐标值计算如下：



使用Geodtic经纬度得到的坐标系的Up方向与椭球表面是垂直的，正好是椭球表面的法线方向。这个局部坐标ENU是很多三维GIS类软件在设计使用使用的局部坐标系统，当给定经纬度需要把模型放置在指定位置的时候，经常会使用这里面的变换，将局部坐标转换到世界坐标中，保证了当物体在放置点的位置正好是垂直于地球表面。

参考文章：
1. 纬度的定义
2. ECEF坐标系统
3.NED坐标系统
4.ECEF与LTP坐标系统