《离散数学及其应用》读书笔记【一】逻辑和证明

对于一个经常计算机打交道的程序员来说 有两门知识及其重要一个是离散数学一个是数据结构

离散数学让我们可以用最接近计算机运行的方式去处理编写代码 对思路有着及其重要的指导作用

数据结构则可以让我们了解计算机运行时数据的结构 更好的处理问题等

最近这段时间正好有空就把《离散数学及其应用这本书》打算看几遍 看的是中文版对比英文版有很大删减

在接触离散数学前对 或与非 已经有很多的接触 但并未正式的系统学习 所以今年计划把一些基础性的知识补习一下 为以后发展做好基础知识储备

命题逻辑

命题

命题：是一个或真或假的陈述句只有一种状态

用字母代表命题元（命题变量）

析取 合取 非 （或与非）

可以简单的记忆为（具体真值可以参考真值表）：

合取：当两者同真时才为真（真1）符号：∧（当初记忆时为了和∨区别 合字 上面的的人正好和∧相似 这样就很容易记住了）

析取：有一者为真即为真（真3）符号：∨

非：非真为假 非假为真（取反）（真2）符号：¬

异或：两者相反即为真（真2 =析取-合取）符号：¬

条件运算

可以简单的记忆为（具体真值可以参考真值表）：

单条件运算：p→q时 只有p为真q为假时为假 其余为真（真3） 符号：→（读作:若…则 …）

p→q：逆 倒置 反 （包含）

逆: q→p （pq位置互换（逆））,

倒置 : ┐q →┐p（先pq位置互换在取反（与p→q总是相同的真值））

反:┐q→┐p（取反）

双条件运算：p↔q是 当两者状态相同时为真 其余为假 亦p,q等价（真2）符号：⇔（读作:当且仅当）

逻辑运算优先级（从高往低）

非 合取 析取 单条件 双条件 (建议用括号包围)

命题等价

定义1：复合命题称为永真式（或重言式） 真值永远为假的复合命题称为矛盾

定义2：（等价的符号<=>）

各种逻辑等价的关系推导及罗列



对与各种逻辑等价不建议死记 学过命题逻辑后会很容易的推导出来

这里对吸收律做证明

1.p<=>p∨F
2.F<=>(q∧┐q)
3.p<=>p∨F<=>p∨(q∧┐q)<=>(p∨q)∧(p∨┐q)
4.p∧(p∨q)<=>(p∨q)∧(p∨┐q)∧(p∨q)<=>(p∨q)∧(p∨┐q)<=>p

逻辑等价：在所有可能的情况下都有相同真值的两个复合命题称为逻辑等价（一个简单的例子：p→q和┐p∨q逻辑等价）

析取范式，合取范式的定义

谓词和量词

量词用来定义在域内取值范围 （可看做作用 变量 的范围；量词描述范围可以理解为程序中的数据类型等描述范围的概念）

谓词用来描述（可看做方法）

量词的分类：

全称量词 即所有 （符号表示：∀）

存在量词 即存在 （符号表示：∃）（唯一量词 不常用： 符号表示： ∃!）

量词的优先级：比逻辑运算具有更高的优先级

量词的德摩根定律

量词的语义化翻译

量词的嵌套

推理规则

定义1：命题逻辑中的一个论证是一连串的命题 除了论证中最后一个命题外都叫前提 最后的那个命题叫做结论 当它所有的前提为真意味着结论为真时 一个论证是有效的

推理规则表



带量词的推理规则：

全称例示：从全部得出任意个体（由大见小）

全称生成：从任意个体得出全部（由小见大）

存在例示：从存在得出某个个体（部分得出个体）

存在生成：从某个个体得出存在（个体得出部分）

一些证明及推理规则的展示

这里就不在赘述