Graham's Scan法求凸包
2016-06-27 19:23
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凸包
凸包(Convex Hull)是一个计算几何(图形学)中的概念。在一个实数向量空间V中,对于给定集合X,所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1,…Xn)的线性组合来构造.
上面的都没用.
给定二维平面上的点集,凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型,它能包含点集中所有的点。
可以想象成一圈橡皮筋收紧成的一圈
Graham′sScan算法
用于求解凸包,O(n)首先我们找到一个最低的(y轴坐标最小的)标准点,然后按照极角排个序,当两点与标准点共线时,距离小的排前面.
极角就是这个点与标准点所成线与x轴的所夹角
就像这样
注意,实际上我们不需要求得其夹角(因为涉及到三角函数效率低而且会有精度问题),用叉积判断即可
叉积公式与方向的判断
叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。证明这里
然后从左边开始进栈,初始先进两个(图中连边点)
然后进第三个(d点),我们要判断一下如果直接取BD,那么还需不需要CD
怎么判断呢?
其实就是判断BD在不在C的外侧1,如果BD就可以包括C了,那凸包加上C也没有意义了,在栈中把C退掉,然后在对A,B重复上述过程直到不满足上述条件.
判断外侧的话还是要用到叉积,当其叉积为正时我们知道p在q的顺时针
一直进完其他点,最后留在栈中的就是这个点集的凸包了.
CODE
type dcm=real; point=record x,y:dcm; end; var pnts,tmp:array[0..10000] of point; stack:array[0..10000] of longint; len,size,i,j,n,m,k:longint; ans:dcm; std:point; function getDis(a,b:point):dcm; //平面两点距离 begin exit(sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y))); end; function DPT(a,b,mid:point):dcm; //向量叉积,mid是原点 begin exit((a.x-mid.x)*(b.y-mid.y)-(b.x-mid.x)*(a.y-mid.y)); end; function inOrder(left,right:point):boolean; //如left在right的逆时针则返回true var result:dcm; begin result:=DPT(left,right,std); if (result<0)or(result=0)and(getDis(left,std)<getDis(right,std)) then exit(true) //left-->right else exit(false); //q-->p end; procedure qsort(l,r: longint); var i,j,y: longint; x:point; begin i:=l; j:=r; x:=pnts[(l+r) shr 1]; //这里不能直接写下标,因为被排序时值会交换,这样中间值就会变. repeat while inOrder(pnts[i],x) do inc(i); while inOrder(x,pnts[j]) do dec(j); if not(i>j) then begin pnts[0]:=pnts[i]; pnts[i]:=pnts[j]; pnts[j]:=pnts[0]; inc(i);dec(j); end; until i>j; if l<j then qsort(l,j); if i<r then qsort(i,r); end; procedure init; begin readln(n); std.x:=maxlongint; std.y:=maxlongint; //标准点STD for i:=1 to n do with tmp[i] do begin readln(x,y); if (y<std.y)or((y=std.y)and(x<std.x)) then begin std:=tmp[i]; end; end; for i:=1 to n do if (tmp[i].x<>std.x)or(tmp[i].y<>std.y) then begin inc(len); with pnts[len] do begin x:=tmp[i].x; y:=tmp[i].y; end; //其实可以将std放到0下标直接排序就好了 这里写的略麻烦 end; dec(n); qsort(1,n); pnts[0]:=std; end; procedure main; begin stack[1]:=0; stack[2]:=1; stack[0]:=2; for i:=2 to n do begin while (DPT(pnts[stack[stack[0]]],pnts[i],pnts[stack[stack[0]-1]])>=0) do dec(stack[0]); inc(stack[0]); stack[stack[0]]:=i; end; end; procedure print; begin ans:=0; for i:=2 to stack[0] do ans:=ans+getDis(pnts[stack[i]],pnts[stack[i-1]]); writeln(ans+getDis(pnts[stack[stack[0]]],pnts[stack[1]]):0:2); end; begin init(); main(); print(); end.
这个要看顺时针还是逆时针 ↩
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