一个定积分等式的证明

问题

证明一个定积分恒等式：

I=∫+∞0x3ex−1dx=π415

证明

两种方法证明(实际是一种)。

1.利用Γ函数和黎曼ζ函数关系等式

从维基百科上黎曼ζ函数词条可以看到黎曼ζ函数的这样两个等价定义：

ζ(s)=∑n=1+∞1ns(1)

ζ(s)=1Γ(s)∫+∞0xs−1ex−1dx(2)

从而定积分转化为一个收敛到指定值的无穷级数问题。

I=Γ(4)⋅ζ(4)=6ζ(4)(3)

2.直接对被积函数作无穷级数化变换

I=∫∞0x3ex−1dx(5)

被积函数的只含分母部分的因子(ex−1)−1 可以用无穷级数表达

1ex−1=∑n=1∞e−nx(6)

从而原始积分变为：

I=∑n=1∞∫∞0x3e−nxdx(7)

逐个求每一个项的定积分:

∫∞0x3e−nxdx=6n4(8)

所以该积分为如下级数：

I=∑n=1∞6n4(9)

因为黎曼ζ函数有

∑n=1∞1n4=ζ(4)=π490(10)

上面这个无穷级数的证明，可以用英文维基黎曼ζ函数词条中提到的方法或者利用傅里叶级数的系数以及Parseval定理证明。——这个问题的难度和技巧值得欣赏。所涉及的无穷级数的值的Parseval定理和傅里叶变换证明还可以参考这里。

所以原始问题得证：

I=π415(11)