[LeetCode] Max Sum of Rectangle No Larger Than K 最大矩阵和不超过K

Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.

Example:

Given matrix = [
[1,  0, 1],
[0, -2, 3]
]
k = 2

The answer is

2

. Because the sum of rectangle

[[0, 1], [-2, 3]]

is 2 and 2 is the max number no larger than k (k = 2).

Note:

The rectangle inside the matrix must have an area > 0.

What if the number of rows is much larger than the number of columns?

Credits:
Special thanks to @fujiaozhu for adding this problem and creating all test cases.

这道题给了我们一个二维数组，让我们求和不超过的K的最大子矩形，那么我们首先可以考虑使用brute force来解，就是遍历所有的子矩形，然后计算其和跟K比较，找出不超过K的最大值即可。就算是暴力搜索，我们也可以使用优化的算法，比如建立累加和，参见之前那道题Range Sum Query 2D - Immutable，我们可以快速求出任何一个区间和，那么下面的方法就是这样的，当遍历到(i, j)时，我们计算sum(i, j)，表示矩形(0, 0)到(i, j)的和，然后我们遍历这个矩形中所有的子矩形，计算其和跟K相比，这样既可遍历到原矩形的所有子矩形，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), res = INT_MIN;
int sum[m]
;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
int t = matrix[i][j];
if (i > 0) t += sum[i - 1][j];
if (j > 0) t += sum[i][j - 1];
if (i > 0 && j > 0) t -= sum[i - 1][j - 1];
sum[i][j] = t;
for (int r = 0; r <= i; ++r) {
for (int c = 0; c <= j; ++c) {
int d = sum[i][j];
if (r > 0) d -= sum[r - 1][j];
if (c > 0) d -= sum[i][c - 1];
if (r > 0 && c > 0) d += sum[r - 1][c - 1];
if (d <= k) res = max(res, d);
}
}
}
}
return res;
}
};

下面这个算法进一步的优化了运行时间，这个算法是基于计算二维数组中最大子矩阵和的算法，可以参见youtube上的这个视频Maximum Sum Rectangular Submatrix in Matrix dynamic programming/2D kadane。这个算法巧妙在把二维数组按行或列拆成多个一维数组，然后利用一维数组的累加和来找符合要求的数字，这里用了lower_bound来加快我们的搜索速度，也可以使用二分搜索法来替代。我们建立一个集合set，然后开始先放个0进去，为啥要放0呢，因为我们要找lower_bound(curSum - k)，当curSum和k相等时，0就可以被返回了，这样我们就能更新结果了。由于我们对于一维数组建立了累积和，那么sum[i,j] = sum[i] - sum[j]，其中sums[i,j]就是目标子数组需要其和小于等于k，然后sums[j]是curSum，而sum[i]就是我们要找值，当我们使用二分搜索法找sum[i]时，sum[i]的和需要>=sum[j] - k，所以也可以使用lower_bound来找，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), res = INT_MIN;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
vector<int> sum(m, 0);
for (int j = i; j < n; ++j) {
for (int k = 0; k < m; ++k) {
sum[k] += matrix[k][j];
}
int curSum = 0, curMax = INT_MIN;
set<int> s;
s.insert(0);
for (auto a : sum) {
curSum += a;
auto it = s.lower_bound(curSum - k);
if (it != s.end()) curMax = max(curMax, curSum - *it);
s.insert(curSum);
}
res = max(res, curMax);
}
}
return res;
}
};

类似题目：

Maximum Subarray

Range Sum Query 2D - Immutable

Maximum Size Subarray Sum Equals k

参考资料：

https://leetcode.com/discuss/109847/2-accepted-java-solution

https://leetcode.com/discuss/109749/accepted-c-codes-with-explanation-and-references

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