算法！算法！算法！
2016-06-26 10:47
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原文地址：算法！算法！算法！作者：jorchid最近在复习算法，写点东西。
一、分治
什么是分治？嗯……4个人打牌，发现丢了一张牌，是哪张呢？如果你是这样解决的：把牌分成四份分别给四个人，每个人再按四种花色把分给自己的牌分好，大家一合计，就找到丢了哪张牌。是不是比一个人要快？这个差不多就有分治的味道了。
【题目1】单峰数组(<算法设计>)
一个数组中的数值随着下标的编号的增大，先增大后减小。如何求峰值数值的下标？
想想：
从第一个比到最后一个，把最大的记下来就可以了！复杂度O(n)
如果还要小一些的话，分治试试。从中间分，如果中间这个数比前面的数大，比后面的数小，那么在上坡。我们在它后面找~反之同理。如果中间这个数比它前面的和后面的数都大，那么太好了我们找到它了!
解：
对于数组为n的数组A[1..n]，检查A[n/2].
如果A[n/2+1]>A[n/2]>A[n/2-1],那么在A[n/2+1]与A
之间进行同样的方法找峰值。
如果A[n/2+1]<A[n/2]<A[n/2-1],那么在A[n/2-1]与A[1]之间进行同样的方法找峰值。
如果A[n/2+1]>A[n/2]>A[n/2-1],那么A[n/2]是峰值。
复杂度：
递归方程:T(n)=T(n/2)+C
O(logn)
【题目2】一定赚钱的股票（《算法设计》）
如果你知道一支股票在n天里的所有价格，如何确定买入和卖出的时间，使自己一次买卖赚最多？
想想：
其实就是找到第i天和第j天，使得price(j)-price(i)最大。穷举所有的情况显然可以，代价O(n^2).可以分治吗？或者说，第n/2天时，你在做什么？1已卖出，2买入还未卖出，3未买入。为什么？因为1前n/2天买卖最赚，2前n/2天中某一天买入，后n/2天中某一天卖出最赚，3后n/2天买卖最赚。
解：
对于n天的价格：
递归计算出前n/2的最佳买卖时间，后n/2天的最佳买卖时间。还有前n/2天最便宜的一天和后n/2中最贵的一天。
解一定是三者中最优的那个。
复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(n)
T(n)=O(n*logn)
备注：有动态规划的O(n)的更优算法！
【题目3】数据库的中位数（《算法设计》）
两个大小为n的数据库，全部的2n个值均不同。
数据库的一个基本操作是“查询”，即输入k，返回一个第k个最小的值。
试图用最少的“查询”完成对两个数据库中位数的查找算法。
想想：
两个都可以找第k大，求全局的第n大。试着比较两个数据库的中位数，有什么发现吗？找个例子吧~
n=3,A={1,2,3},B={4,5,6}.比较发现B[2]=5>A[2]=2。那比B中比B[2]大的没希望是第n大了，因为那些数比B数组的一半都要大，而且也至少比A数组的一半都要大，已经比n个大了。同理，那些A中比A[2]小的也没希望了……这样一下少了一半，靠谱！
解：
比较两个数据库A,B中，中位数的大小。不妨假设A[n/2]>B[n/2].那么递归的寻找数据库A[1..n/2],B[n/2..n]的中位数。
复杂度：
T(n)=T(n/2)+c
T(n)=logn
【题目4】逆序对
数组a[1..n],有多少对(i,j),使得i<j且，a[i]>a[j]?
想想：从中间开始拆？似乎是一个归并排序的附带产物？
解：
类似于归并算法。将a拆为A和B两个数组，递归计算A和B的逆序数，然后在合并的过程中计算A，B之间的逆序数。
计算A，B之间的逆序数:设A,B合并为数组C，那么在将A中一个元素添加到C末尾时，记录B中比这一元素小的元素数。
复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(n)
T(n)=nlog(n)
【题目5】重要逆序对
数组a[1..n],有多少对(i,j),使得i<j且，a[i]>2a[j]?
想想：逆序对的加强版本！
解：
类似于归并算法。将a拆为A和B两个数组，递归计算A和B的逆序数，然后在合并的过程中计算A，B之间的重要逆序数。
复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(n)
T(n)=nlog(n)
【题目6】银行卡测试
有仪器可以检测两张银行卡是否使用同一个账号。
有n张银行卡，是否有n/2张以上是使用同一个账号？
想想：其实就是求众数。
解：
把卡分为n/2组，每组两张。如果两张卡使用同一个账号，那么标记一张；如果不是，则都两张卡标记。
重复此过程直到剩下的卡少于等于三张，逐一检查是否有n/2张以上是使用同一个账号。
复杂度：
T(n)=T(n/2)+O(n)
T(n)=O(n)
二、动态规划
举个例子：求10！，11！，12！。最好不要1个1个计算，否则很麻烦。可以先算出10！，然后再乘以11，得到11！，然后……这个就有动态规划的影子了~
【题目1】
一段长M的公路，用[0,M]来表示。如果放一块广告在xi，就得到收益ri，且任意广告距离大于5
例：{x1,x2,x3,x4}={6,7,12,14},{r1,r2,r3,r4}={5,6,5,1}最优解10
想想：！
解：
令profit (i)表示{x1,x2...xi}的最优解的收益。
那么profit(i)=max{profit(k)+ri,profit(i-1)}其中k满足x(k)<xi-5<x(k+1)
初始值profit(0)=0且profit(1)=r1,递归计算profit(2..n)
复杂度：
k的值的获取O(min(M,n))：若M较小可遍历，如果n比较小可以O(n)合并{xi-5}与{xi}，使得在常数时间得到k。
循环为O(n)
综上为O(n)
【题目2】有n 项作业的集合J={1,2,…,n}，每项作业i 有加工时间t(i) ∈Z+，效益值v(i)，所有
任务必须在D∈Z+时刻结束，其中Z+表示正整数集合。
（1）一个可行调度是对J 的子集A 中任务的一个安排，对于i∈A，f(i)是开始时间，且
满足下述条件：
f(i)+t(i)≤f(j) 或者f(j)+t(j)≤f(i), j≠i i,j∈A
总时间不超过D。
设机器从 0 时刻开动，只要有作业就不闲置，求具有最大总效益的调度
解：
1.算法设计：使用贪心法，
三、回溯法
四、贪心法
五、np难的证明。
一、分治
什么是分治？嗯……4个人打牌，发现丢了一张牌，是哪张呢？如果你是这样解决的：把牌分成四份分别给四个人，每个人再按四种花色把分给自己的牌分好，大家一合计，就找到丢了哪张牌。是不是比一个人要快？这个差不多就有分治的味道了。
【题目1】单峰数组(<算法设计>)
一个数组中的数值随着下标的编号的增大，先增大后减小。如何求峰值数值的下标？
想想：
从第一个比到最后一个，把最大的记下来就可以了！复杂度O(n)
如果还要小一些的话，分治试试。从中间分，如果中间这个数比前面的数大，比后面的数小，那么在上坡。我们在它后面找~反之同理。如果中间这个数比它前面的和后面的数都大，那么太好了我们找到它了!
解：
对于数组为n的数组A[1..n]，检查A[n/2].
如果A[n/2+1]>A[n/2]>A[n/2-1],那么在A[n/2+1]与A
之间进行同样的方法找峰值。
如果A[n/2+1]<A[n/2]<A[n/2-1],那么在A[n/2-1]与A[1]之间进行同样的方法找峰值。
如果A[n/2+1]>A[n/2]>A[n/2-1],那么A[n/2]是峰值。
复杂度：
递归方程:T(n)=T(n/2)+C
O(logn)
【题目2】一定赚钱的股票（《算法设计》）
如果你知道一支股票在n天里的所有价格，如何确定买入和卖出的时间，使自己一次买卖赚最多？
想想：
其实就是找到第i天和第j天，使得price(j)-price(i)最大。穷举所有的情况显然可以，代价O(n^2).可以分治吗？或者说，第n/2天时，你在做什么？1已卖出，2买入还未卖出，3未买入。为什么？因为1前n/2天买卖最赚，2前n/2天中某一天买入，后n/2天中某一天卖出最赚，3后n/2天买卖最赚。
解：
对于n天的价格：
递归计算出前n/2的最佳买卖时间，后n/2天的最佳买卖时间。还有前n/2天最便宜的一天和后n/2中最贵的一天。
解一定是三者中最优的那个。
复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(n)
T(n)=O(n*logn)
备注：有动态规划的O(n)的更优算法！
【题目3】数据库的中位数（《算法设计》）
两个大小为n的数据库，全部的2n个值均不同。
数据库的一个基本操作是“查询”，即输入k，返回一个第k个最小的值。
试图用最少的“查询”完成对两个数据库中位数的查找算法。
想想：
两个都可以找第k大，求全局的第n大。试着比较两个数据库的中位数，有什么发现吗？找个例子吧~
n=3,A={1,2,3},B={4,5,6}.比较发现B[2]=5>A[2]=2。那比B中比B[2]大的没希望是第n大了，因为那些数比B数组的一半都要大，而且也至少比A数组的一半都要大，已经比n个大了。同理，那些A中比A[2]小的也没希望了……这样一下少了一半，靠谱！
解：
比较两个数据库A,B中，中位数的大小。不妨假设A[n/2]>B[n/2].那么递归的寻找数据库A[1..n/2],B[n/2..n]的中位数。
复杂度：
T(n)=T(n/2)+c
T(n)=logn
【题目4】逆序对
数组a[1..n],有多少对(i,j),使得i<j且，a[i]>a[j]?
想想：从中间开始拆？似乎是一个归并排序的附带产物？
解：
类似于归并算法。将a拆为A和B两个数组，递归计算A和B的逆序数，然后在合并的过程中计算A，B之间的逆序数。
计算A，B之间的逆序数:设A,B合并为数组C，那么在将A中一个元素添加到C末尾时，记录B中比这一元素小的元素数。
复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(n)
T(n)=nlog(n)
【题目5】重要逆序对
数组a[1..n],有多少对(i,j),使得i<j且，a[i]>2a[j]?
想想：逆序对的加强版本！
解：
类似于归并算法。将a拆为A和B两个数组，递归计算A和B的逆序数，然后在合并的过程中计算A，B之间的重要逆序数。
复杂度：
T(n)=2T(n/2)+O(n)
T(n)=nlog(n)
【题目6】银行卡测试
有仪器可以检测两张银行卡是否使用同一个账号。
有n张银行卡，是否有n/2张以上是使用同一个账号？
想想：其实就是求众数。
解：
把卡分为n/2组，每组两张。如果两张卡使用同一个账号，那么标记一张；如果不是，则都两张卡标记。
重复此过程直到剩下的卡少于等于三张，逐一检查是否有n/2张以上是使用同一个账号。
复杂度：
T(n)=T(n/2)+O(n)
T(n)=O(n)
二、动态规划
举个例子：求10！，11！，12！。最好不要1个1个计算，否则很麻烦。可以先算出10！，然后再乘以11，得到11！，然后……这个就有动态规划的影子了~
【题目1】
一段长M的公路，用[0,M]来表示。如果放一块广告在xi，就得到收益ri，且任意广告距离大于5
例：{x1,x2,x3,x4}={6,7,12,14},{r1,r2,r3,r4}={5,6,5,1}最优解10
想想：！
解：
令profit (i)表示{x1,x2...xi}的最优解的收益。
那么profit(i)=max{profit(k)+ri,profit(i-1)}其中k满足x(k)<xi-5<x(k+1)
初始值profit(0)=0且profit(1)=r1,递归计算profit(2..n)
复杂度：
k的值的获取O(min(M,n))：若M较小可遍历，如果n比较小可以O(n)合并{xi-5}与{xi}，使得在常数时间得到k。
循环为O(n)
综上为O(n)
【题目2】有n 项作业的集合J={1,2,…,n}，每项作业i 有加工时间t(i) ∈Z+，效益值v(i)，所有
任务必须在D∈Z+时刻结束，其中Z+表示正整数集合。
（1）一个可行调度是对J 的子集A 中任务的一个安排，对于i∈A，f(i)是开始时间，且
满足下述条件：
f(i)+t(i)≤f(j) 或者f(j)+t(j)≤f(i), j≠i i,j∈A
总时间不超过D。
设机器从 0 时刻开动，只要有作业就不闲置，求具有最大总效益的调度
解：
1.算法设计：使用贪心法，
三、回溯法
四、贪心法
五、np难的证明。
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