数学三次危机（一）毕达哥拉斯学派的数学发现

毕达哥拉斯创建的学派在他生前与死后都进行了大量的数学研究，并得到了众多的数学发现。他们的成果后来被欧几里得收入《几何原本》中，称为希腊数学的重要组成部分。不过，这些数学成果究竟是由何人在何时做出的，大都很难考证清楚了。因此，我们下面介绍的发现除个别有据可查的归于个人外，其余则只要归于整个毕达哥拉斯学派了。

一、数的研究

毕达哥拉斯学派对数作过深入的研究，不过，他们感兴趣的不是数的应用（即计算），而是数的理论问题，也就是研究数的性质 和 数与数之间的特殊关系。这种研究现在被归入一门数学分支——数论——之中。

 

毕达哥拉斯学派对整数（当时没有负数与零的概念，因此他们所提到的整数其实只限于我们现在所说的正整数）进行了多种分类，并定义了许多概念。如 他们 把整数分为奇数与偶数，素数与合数等。此外，他们还作过更为奇特的划分，并从中发现了一些有趣的数。

 

毕达哥拉斯学派热衷的还有一类数，“有形状的”数，现在人们称为 形数。

 

早期的毕达哥拉斯门徒是在地上摆弄小石子来研究数字的，事实上英文的calculus（计算）一次就是从希腊文的“石子”衍生出来的。于是，在他们的研究中，形与数 自然地结合了起来。当他们把石子按某种几何方式排成图形时，他们就得到各种形数。

 

如图



点数1,3,6,10，……叫做三角数。



点数1,4,9,16，……叫做平方数。类似地，可排出五角数，六角数等。

让毕达哥拉斯学派成员感兴趣并着迷的是对形数性质的研究。

 

他们得到三角数的通项，又发现三角数是包括奇数与偶数在内的所有相继自然数的和，于是他们推出了：1+2+3+…+n=n(n+1)/2。

 

他们清楚平方数的通项，又发现平方数都等于相继奇数的和，于是他们推出：1+3+5+…+(2n-1)=n2。

 

做出平方数n2的图形后，再镶上一个点数是2n+1的曲尺形

的边，就得到下一个平方数，这相当于证明了n2+(2n+1)=(n+1)2。



而按照下面的图示，将正方形剖分，便可得到任何一个平方数都是两个相继三角形数之后，这相当于得到了 (n-1) n/2+n(n+1)/2 = n2。



就这样，毕达哥拉斯学派通过借助直观的图形分析，发现了许多数的性质。

 

这类可以表示成简单而规则图形的有趣的数，还引起了后人浓厚的兴趣。

 

毕达哥拉斯学派还对勾股数进行了研究。他们考虑的不是给出个别的勾股数，而是想找到一下子产生许多勾股数的公式。他们获得了部分成功，他们发现如果m是一个奇数，则((m2+1)/2)2=((m2-1)/2)2+m2，因此(m,(m2-1)/2,(m2+1)/2)可以给出勾股数。如果设奇数m=2n+1，我们可以得到一个等价的形式，即(2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2++
(2n+1)2。通过后面这一形式，可以看出，这一公式只能产生斜边与一个直角边差是1的勾股数解。

 

约公元前280年，古希腊著名哲学家柏拉图设计出另一公式：(m2+1)2=(m2-1)2+(2m)2，其中m为任意自然数。这一公式的特点是斜边与长直角边的差为2，但它也不能给出所有的勾股数。那么是否有一种公式能产生全部勾股数呢？

 

能产生全部基本勾股数的法则在我国最早出现在《九章算术》一书中，而印度则在《婆罗摩修正体系》。西方最先掌握这一全部解法则的数学家是古希腊的丢番图，他在名著《算术》中有若干题用到了这一公式，只是没有明显地表达出来。

 

勾股数的研究还引出另一个问题。勾股数的存在意味着不定方程a2+b2=c2有无穷多组自然数解，那么方程中的指数变为比2大的正整数，方程是否还有解呢？换句话说，n>2时，是否有自然数解呢？这一问题由数学家费马提出，并称为费马大定理。直到1995年，在困惑了世间智者360余年后，这个比哥德巴赫猜想更悠久、更有名的难题才被英国剑桥数学家攻克了。

 

毕达哥拉斯学派在研究一些比 和 比例关系时，还提出了算数比例、几何比例、调和比例的概念。现在，更普遍的用法试讲“算术的”、“几何的”和“调和的”这些名称用到均值上，于是有算术平均值、几何平均值、调和平均值。这几个概念用现在的符号可以表示为：若p和q是两数，则它们的算术均值A=(p+q)/2，几何平均值G=√pq，而调和平均值H是1/p和1/q的算术平均值取倒数，即H=2pq/(p+q)。毕达哥拉斯学派还发现了这些概念之间的关系，如G是A和H的几何平均值，即A:G=G:H，他们把这个比例叫做完全比例。此外，他们还发现p:A=H:q，即p:(p+q)/2=2pq/(p+q):q，并把这个比例称为音乐比例。以该比例为出发点，毕达哥拉斯学派建立起他们的音乐理论。

二、几何的而成就

毕达哥拉斯学派在几何学方面也取得很多成就。据认为以下所列的发现都来自他们或与他们密切相关。

 

建立了关于三角形多边形的理论，包括三角形全等定理、三角形内角和为180°，可能还推证了多边形内角和定理；建立了平行线理论、相似理论等。他们对圆与球的一些定理也有所了解。

 

研究了正多边形覆盖平面的问题。他们发现这种覆盖只有三种情况，即平面可用6个正三角形或4个正方形或3个正六边形铺满。他们也研究了立方体填满空间的问题。



研究了正五边形、正十边行的作图法。由于这些作图法与黄金分割（即分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项）密切联系，因此人们推想他们对“几何学中一大宝藏”的黄金分割是熟悉的。

 

发现5种多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体与正二十面体。事实上，可以证明三维空间中正多面体仅有这5种。

 

当然，最有名的贡献则是发现了勾股定理的证明。通过勾股定理而发现“不可公度量”（即无理数），是这一学派对数学的最大贡献。