约瑟夫环 Python&Swift实现

Josephus问题的通解公式是

f(n,k)=((f(n-1,k)+k-1) mod n)+1，f(1,k)=1

其中f(n,k)表示n个人玩约瑟夫杀人游戏，每次报号k倍数的人被干掉的规则下最终剩下的那个人原本的标号。

假设有10个人，即n = 10，

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选择 m = 3

那么第一个人出列后的序列为：

0 1 3 4 5 6 7 8 9 ，即：

3 4 5 6 7 8 9 0 1 （i）我们可以将该式转换为：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 （ii）

那么则有 （（ii）+ 3 ）% 10 = （i）

也就是说，我们求出九个人中第9次的编号，利用上式进行转换就能得到第10个人第10次的结果。

进行普遍情况的分析：

n个人（编号0…n-1），从0开始报数，报到m-1的出列，剩下的n-1个人继续从0开始报数，求胜利者的编号。

、第一个出列的人编号一定是 m%n-1， 剩下的n-1个人组成一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

原始	k	k+1	k+2	…	n-2	n-1	0	1	2	…	k-2
新环	0	1	2	…						…	n-1

变换后就完全变成n-1个人报数的子问题。

假设子问题的解为x，那么根据上面这个表把x变为相应的n个人的情况。也就是求目前为x的人在n个人情况是标号为多少。x’=(x+k)%n。

同理，知道n-2个人可以推出n-1个人，知道n-3个人可以推出n-2个人….

令f[i]表示第i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果为f

递推公式：

f[1] = 0

f[i] = (f[i-1] + m) % i (i>1)

因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+ 1。

swift程序如下：

import UIKit
//实现约瑟夫环
func Josephus(total:Int, out:Int) -> Int{
let n = total
let m = out
var temp = 0    //初始化f[1] = 0
for i in 1...n {
temp = (temp + m) % i     //f[i] = (f[i-1] + m) % i
}
return temp + 1
}
let liveMan = Josephus(6, out: 2)
//output:5

Python代码：

def Josephus(total, out):
n = total; m = out
temp = 0
for i in range(1, n+1):
temp = (temp + m) % i     #f[i] = (f[i-1] + m) % i
return temp + 1

print(Josephus(6, 2))