背包问题

         想每天都做一道ACM没有坚持下来呀，最近实在是太忙了，不过有看一些书在这里整理一下读书笔记吧。

      这里我想先对背包问题进行一个描述，背包问题分为0-1背包问题和部分背包问题，简单来说部分背包问题就是在往背包里面装东西的时候，货物可以分割，而0-1背包问题不能对货物进行分割。虽然两个问题非常相似，但是部分背包问题可以用贪心算法来解决，而0-1背包问题是不可以的。

      为了解决部分背包问题，我们可以先求出货物单位质量的价值，然后给予贪心策略去装货物直到背包装满。所以部分背包问题在这里就不做过多的描述了，下面对0-1背包问题举一个例题进行解析。

       例：总共有三件物品，背包可容纳5磅的东西，物品1重1磅，价值60元，物品2中2磅，价值100元，物品3重3磅，价值120元。怎么才能最大化背包所装物品的价值。

       我们可以利用动态规划来解0-1背包问题。

       假设c[i]表示第i件物品的重量，w[i]表示第i件物品的价值，f[i][j]表示背包重量为j，可选物品为1~i时，背包能获得的最大价值。

       用动态规划求解即先求出背包容量较小时能获得的最大价值，然后根据背包容量较小时的结果求出背包容量较大时的结果，也就是一个递推的填表过程。

       当没有可选物品时，背包能获得的最大价值为0。即表格可初始化为：

       填表过程是：



       如果j<c[i]那么显然是放不下第i件物品的，故不考虑物品i。如果放的下物品i那么又会有两种情况，第一种情况是不放物品i，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为j的背包中”；第二种情况是放物品i这时候背包容量变为j-c[i],问题就转化为“前i-1件物品放入容量为j-c[i]的背包中”，最大价值就是f[i-1][j-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。则在该这种情况下f[i][j]的值应为这两种情况里的最大值。

        显然我们按照如下表格一次逐行填表，得到f[3][5]即为所求。

3	0	60	100	160	180	220
2	0	60	100	160	160	160
1	0	60	60	60	60	60
0	0	0	0	0	0	0
物品/背包质量	0	1	2	3	4	5

       代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
int N=3 , V=5; //N是物品数量，V是背包容量
int C[4]={0,1,2,3};
int f[4][6];
int W[4]={0,60,100,120};
for(int i=0;i<=V;i++)//初始化
{
f[0][i]=0;
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
//逐行填表,i表示当前可选物品数，j表示当前背包容量
f[i][0]=0;
for(int j=1;j<=V;j++)
{
if(j<C[i])
{
f[i][j]=f[i-1][j];
}
else
{f[i][j]=(f[i-1][j]>f[i-1][j-C[i]]+W[i] ? f[i-1][j]:(f[i-1][j-C[i]]+W[i]));
}
}
}
return f[3][5];
}