BZOJ 2436 NOI嘉年华(单调优化)

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2436

题意:两个会场不能同时表演，但是同一个时间可以同时表演，要求让两个会场表演数量最小的最大，然后限制某一个必须表演，最小的要最大是多少。。

思路：先将时间离散化，预处理数组num[i][j],代表时间i到时间j一共包含了几个表演。

然后进行dp,pre[i][j]，代表1~时间i，会场A表演了j个，此时会场B最多能表演几个。

pre[i][j]=max(pre[i][j+1],pre[k][j]+num[k][i],pre[k][j-num[k][i]]) 后两个分别代表这个区间的表演放到B，和这个区间的表演放到A，

suf[i][j]代表i~时间m，会场A表演了j个，此时会场B最多能表演几个，这个就是同理了

然后第一问的答案就是max(min(i,pre[m][i]))

对于第二问，我们考虑这样设计:

ans[i][j]=max(min(x+y+num[i][j],pre[i][x]+suf[j][y]))

这样的转移是n^4的，不能通过全部数据。

我们考虑令i和j固定，f[x][y]=min(x+y+num[i][j],pre[i][x]+suf[j][y])

再令x固定，y逐渐增大，发现f[x][y]是单峰的！，因此当f[x][y+1]<f[x][y]就可以break了。

原因是x+y+num[i][j]中只有y是在不断增大的，而pre[i][x]+suf[j][y]中suf[j][y]是不断减小的，由于是取min

因此会有一个瞬间x+y+num[i][j]和pre[i][x]+suf[j][y]会达到最接近，然后此时就是最大的答案，之前的和之后的都不是最优的！

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
struct node{
int s,e;
}a[200005];
int p[200005],ans[505][505],n,suf[505][505],pre[505][505],num[505][505];
int read(){
int t=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while ('0'<=ch&&ch<='9'){t=t*10+ch-'0';ch=getchar();}
return t*f;
}
int find(int x){
int l=1,r=p[0];
while (l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if (p[mid]==x) return mid;
else
if (p[mid]<x) l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return 0;
}
void init(){
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i].s=read(),a[i].e=read()+a[i].s,p[++p[0]]=a[i].s,p[++p[0]]=a[i].e;
std::sort(p+1,p+1+p[0]);
int j=1;
for (int i=2;i<=p[0];i++)
if (p[i]!=p[j]) p[++j]=p[i];
p[0]=j;
for (int i=1;i<=n;i++) a[i].s=find(a[i].s),a[i].e=find(a[i].e);
for (int i=1;i<=p[0];i++)
for (int j=i;j<=p[0];j++)
for (int k=1;k<=n;k++)
if (i<=a[k].s&&a[k].e<=j) num[i][j]++;
}
void dp(){
for (int i=0;i<=500;i++)
for (int j=0;j<=500;j++)
pre[i][j]=suf[i][j]=-1000000000;
pre[0][0]=suf[p[0]+1][0]=0;
for (int i=1;i<=p[0];i++)
for (int k=i;k>=0;k--){
pre[i][k]=pre[i][k+1];
for (int j=0;j<=i-1;j++)
pre[i][k]=std::max(pre[i][k],std::max(pre[j][k]+num[j][i],pre[j][k-num[j][i]]));
}
for (int i=p[0];i>=1;i--)
for (int k=p[0]-i+1;k>=0;k--){
suf[i][k]=suf[i][k+1];
for (int j=i+1;j<=p[0]+1;j++)
suf[i][k]=std::max(suf[i][k],std::max(suf[j][k]+num[i][j],suf[j][k-num[i][j]]));
}
for (int i=1;i<=p[0];i++)
for (int j=i;j<=p[0];j++){
int k=1+p[0]-j;
for (int x=0;x<=i;x++)
for (int y=0;y<=k;y++)
if (x+y<=n){
int sx=std::min(x+y+num[i][j],pre[i][x]+suf[j][y]);
if (sx<0) break;
if (ans[i][j]<sx){
ans[i][j]=sx;
}else break;
}else break;
}
}
void Output(){
int Ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
Ans=std::max(std::min(pre[p[0]][i],i),Ans);
printf("%d\n",Ans);
for (int i=1;i<=n;i++){
Ans=0;
for (int j=1;j<=p[0];j++)
for (int k=j;k<=p[0];k++)
if (j<=a[i].s&&a[i].e<=k) Ans=std::max(Ans,ans[j][k]);
printf("%d\n",Ans);
}
}
int main(){
init();
dp();
Output();
}