信与信封问题 最大匹配

题目大意

   将Small John所提供的n封信依次编号为1，2，…，n；且n个信封也依次编号为1，2，…，n。假定Small John能提供一组信息：第i封信肯定不是装在信封j中。请编程帮助Small John，尽可能多地将信正确地装回信封。

 

分析

   信和信封之间的关系，是一种一一对应的关系，这是因为一封信只能放到一个信封里，而一个信封也只能装一封信。而从信息学的角度来看，这种一一对应的关系，也可以看作是二分图的匹配关系。

   这条边所代表的关系也是确定的。容易看出，当且仅当对于G的所有完美匹配M，都存在一条匹配边xiyj，则可以确定信i可以放到信封j中。

   这样，我们就从匹配的角度建立了一个新的模型。那么，这个模型要如何求解呢？

   我们当然不能枚举出G所有的完美匹配，然后再去求它们边的交集——这和搜索就没什么分别。在这里，我们需要对这个模型再做一个小小的转换：我们发现，条件“对于G的所有完美匹配M，都存在一条匹配边xiyj”，等价于“如果图G存在完美匹配，而删除图G中的一条边xiyj得到的图G’中却不存在完美匹配”。

   实际上，我们可以先找到图G的一个完美匹配M，这样，删边就只需考虑匹配边了（因为删除非匹配边得到G’，M仍然是G’的完美匹配）。这样，只需删除n条边，时间复杂度就降到了O(n4)。

   再进一步分析，删除一条边以后，没有必要重新找完美匹配，只需检查可不可以找到新的增广链就可以了。这样，时间复杂度就进一步降到了O(n3)。

   打邻接矩阵好过邻接表

 

代码

var
a:array[1..1000,1..1000] of boolean;
v:array[1..30000] of boolean;
st,ls:array[1..30000] of longint;
i,j,k:longint;
n,m,nm:longint;

function find(r:longint):boolean;
var
i,j,k:longint;
begin
find:=true;
for i:=1 to n do
begin
if not v[i] and a[r,i]
then
begin
k:=st[i]; st[i]:=r; v[i]:=true;
if (k=0) or find(k) then exit;
st[i]:=k;
end;
end;
find:=false;
end;

procedure main;
var
i,j,k:longint;
z:boolean;
begin
for i:=1 to n do
begin
fillchar(v,sizeof(v),0);
z:=find(i);
end;
end;

begin
readln(n);
readln(j,k);
fillchar(a,sizeof(a),true);
while j+k<>0 do
begin
a[k,j]:=false;
readln(j,k);
end;
main;
nm:=0;
for i:=1 to n do
begin
k:=st[i]; st[i]:=0; a[k,i]:=false;
fillchar(v,sizeof(v),0);
if not find(k) then
begin
st[i]:=k;
writeln(i,' ',k);
nm:=1;
end;
a[k,i]:=true;
end;
if nm=0 then write('none');
end.