BZOJ4585 [Apio2016]烟火表演

“这个凸包的形式，妙啊，他妙啊，妙啊”

王梦迪神犇在讲题的时候写的题解挺详细的

我们对每个点，有一个把子树内长度统一的花费关于统一成的长度的函数f(x)，易知这个函数是下凸的，对于一个点x，设他的儿子是y，算x的函数的时候对所有的y，我们把y顶上那条边考虑进来，得到F(y)，然后对所有F(y)相加就得到了f(x)

算F(f(x))的方法是找到f(x)的最低的一段，设这段是[L,R]，这段一定是一个斜率为0的线段（长度可能为0），设这段的长度为len，x到fa[x]的距离为l，这段的纵坐标为c，则

       f(x)+l         (x<=L)

F(x)={   -x+L+l+c        (L<x<L+l)

       c            (L+l<=x<=R+l)

       x-R-l+c        (x>R+l)

我们考虑维护函数的每个拐点，我们可以认为每个拐点都使函数的斜率-1（拐点可以重合）

这样只要知道每个拐点的横坐标和x=0时的函数值就能知道整个函数

x=0是函数的值就是子树内边权和

这样我们计算sigma F(y)的时候就把所有拐点加起来就可以

我们考虑 sigma F(y)，由于对于每个F(x)最右端斜率都是1，所以sigma(F(y))最右端的斜率是x的出度

所以我们弹掉最右边的出度-1个节点就得到了最低段，然后把最低段删掉再把最后两段加进来就得到了F(x)

最后得到f(1)之后我们就能得到最小值了

这个过程可以用可并堆维护，每个节点会加进来两个拐点，每个拐点最多被弹出去一次，所以复杂度是O((n+m)log(n+m))

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
using namespace std;
#define MAXN 600010
#define MAXM 1010
#define ll long long
#define INF 1000000000
#define MOD 1000000007
#define eps 1e-8
int rt[MAXN],son[MAXN][2];
ll v[MAXN];
int fa[MAXN],len[MAXN],d[MAXN],tot;
ll sum;
int n,m;
ll p[MAXN];
int uni(int x,int y){
if(!x||!y){
return x+y;
}
if(v[x]<v[y]){
swap(x,y);
}
son[x][1]=uni(son[x][1],y);
swap(son[x][0],son[x][1]);
return x;
}
void pop(int x){
rt[x]=uni(son[rt[x]][0],son[rt[x]][1]);
}
int main(){
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=2;i<=n+m;i++){
scanf("%d%d",&fa[i],&len[i]);
sum+=len[i];
d[fa[i]]++;
}
for(i=n+m;i>1;i--){
ll l=0,r=0;
if(i<=n){
while(--d[i]){
pop(i);
}
r=v[rt[i]];
pop(i);
l=v[rt[i]];
pop(i);
}
v[++tot]=l+len[i];
v[++tot]=r+len[i];
rt[i]=uni(rt[i],uni(tot,tot-1));
rt[fa[i]]=uni(rt[fa[i]],rt[i]);
}
while(d[1]--){
pop(1);
}
for(i=1;rt[1];i++){
p[i]=v[rt[1]];
pop(1);
}
int k=-1;
tot=i-1;
for(i=1;i<=tot;i++,k--){
//sum+=(p[i]-p[i+1])*k;
sum-=p[i];
}
printf("%lld\n",sum);
return 0;
}

/*
4 6
1 5
2 5
2 8
3 3
3 2
3 3
2 9
4 4
4 3

*/