第一章 事件与概率

第一章 事件与概率

一、defs

1

. 随机试验

2

. 样本空间

3

. 事件

二、事件

(一) 运算

A+B−−−A||B

AB两个事件同时发生

A−B

A¯

注意：

1

. A=(A−B)+AB

2

. A+B=(A−B)+AB+(B−A)

(二) 关系

包含
A⊂B.若A发生，则B一定发生。

互斥
AB=∅

对立
AB=∅,A+B=Ω

A，B对立⇔B=A¯

三、概率定义

Ω是样本空间。定义P(x)。若：

P(A)≥0，非负性

P(Ω)=1，归一性

A1,A2,A3,…,An互斥，

则有

P(∑n=1∞An)=∑n=1∞P(An)

无限事件和的概率等于概率和，称P(A)为A的概率。

Note:

1

. P(∅)=0;

2

. A1,A2,A3,…,An互斥，

则

P(A1+A2+⋯+An)=P(A1)+P(A22)+⋯+P(An)

四、基本公式

1

. 减法公式

P(A−B)=P(AB¯)=P(A)−P(AB)

2

. 加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)

3

. P(A¯)=1−P(A)补事件公式

4

. 条件概率

若 P(A)>0,

P(B|A)=P(AB)P(A)

5

. 乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)

P(A1…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1…An)

五、事件的独立

引子

条件减法公式
P(A−B|C)=P(A|C)−P(AB|C)

条件加法公式
P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)+P(AB|C)

(一)、defs

1

. P(AB)=P(A)P(B)

2

. 若⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)

则

A,B,C独立.

六、全概率与Bayes公式

若

{A1,A2,…,An两两相互独立A1+A2+⋯+An=Ω

则称A1,A2,…,An为完备事件组。

若∀B,

B=ΩB=(A1,A2,…,An)B=A1B+A2B+⋯+AnB⇒P(B)=P(A1B)+⋯+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+⋯+P(An)P(B|An).

1

. 全概率公式

P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai)

2

. Bayes公式

P(Ak|B)=P(AkB)P(B)=P(Ak)P(B|Ak)∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)

七、三种常见概型

(一)、古典概型

若

Ω{样本点个数有限每个样本点发生的概率相等

则

P(A)=有利于A的样本点数Ω中样本点总数.

(二)、几何概型
若
Ω
欧式空间，有限区域，每一个点发生等可能

则

P(A)=A的度量Ω的几何度量

(三)、n重伯努利实验

{每次实验有两个可能的结果A,A¯每次实验中A,A¯发生的概率不变

设Ak={n次实验中A发生k次},(k=0,1,2,⋯,n)，且P(A)=p(0<P<1)，则

P(Ak)=Cknpk(1−p)n−k.