hiho-102周 搜索五·数独

描述

在上一次学会了跳舞链的搜索方法之后，小Ho觉得这个算法真是棒极了。

小Ho：小Hi，还有没有什么有意思的题目可以用跳舞链解决的啊？

小Hi：我想想，首先可以确定的是给出01矩阵的精确覆盖问题都可以解决。

小Ho：嗯，我觉得如果一个问题能够通过模型转换成01矩阵，应该都可以用跳舞链解决吧。

小Hi：是的，那么小Ho，你觉得数独问题能用跳舞链解决么？

小Ho：数独是啥？

小Hi：小Ho，你居然不知道数独？

小Ho：我有听过，但是没有实际去做过。

小Hi：这样啊，那我就简单给你讲一讲。数独问题就是给定一个9x9的矩阵。然后将1~9填入当中，比如下面这个：



其中有些格子已经填好了，有些格子则需要你填进去。

对于填好后的格子，需要满足3个条件：

每一个数字在每一行只能出现1次
每一个数字在每一列只能出现1次
每一个数字在每一个九宫区域内只能出现1次，上图中每一个粗线包围的区域就是一个九宫。

小Ho：规则看上去还是蛮简单的嘛。

小Hi：对啊。那么你觉得这个问题可以用跳舞链解决么？

小Ho：嗯，我想一想啊。

数独提示

小Ho：不行不行，我觉得搞不定啊！

小Hi：什么搞不定？你先说说你的想法？

小Ho：我是这样想的，要用跳舞链来解决数独问题，那就要求把数独问题转化为01的矩阵。我们之前遇到的问题是，一个格子只存在覆盖或是不覆盖的情况。而数独这个问题里面，一个位置是从数字当中选择一个。这样我就没有办法去覆盖一个解了。

小Hi：你说的没错。

小Ho：那应该怎么办啊？

小Hi：小Ho，其实你陷入了一个很大的误区。

小Ho：什么？

小Hi：对于精确覆盖问题的01矩阵，其实它的含义是这样：

列：一个原问题的约束条件

行：一个方案所满足的约束条件

在我们之前的问题中，一个问题的约束条件就是每一列是否被覆盖到，因此约束条件的数量也就和列的数量相同了。

而对于数独来说，其约束条件并不是列的数量。

根据数独游戏的规则，我们要满足的约束条件有四个：

每一个数字在每一行只能出现1次。

由于行和数字的互相匹配，因此一共会产生9x9，81个约束条件：

1. 第1行存在数字1
2. 第1行存在数字2
3. 第1行存在数字3
...
9. 第1行存在数字9
10. 第2行存在数字1
11. 第2行存在数字2
...
18. 第2行存在数字9
19. 第3行存在数字1
...
80. 第9行存在数字8
81. 第9行存在数字9

对于第i行第j列填写数字k时，其对应的序号为(i-1)*9+k

每一个数字在每一列只能出现1次

由于列和数字的互相匹配，因此一共会产生9x9，81个约束条件：

82. 第1列存在数字1
83. 第1列存在数字2
84. 第1列存在数字3
...
90. 第1列存在数字9
91. 第2列存在数字1
92. 第2列存在数字2
...
99. 第2列存在数字9
100. 第3列存在数字1
...
161. 第9列存在数字8
162. 第9列存在数字9

对于第i行第j列填写数字k时，其对应的序号为81+(j-1)*9+k

每一个数字在每一个九宫只能出现1次

由于九宫和数字的互相匹配，因此一共会产生9x9，81个约束条件：

163. 第1个九宫存在数字1
164. 第1个九宫存在数字2
165. 第1个九宫存在数字3
...
171. 第1个九宫存在数字9
172. 第2个九宫存在数字1
173. 第2个九宫存在数字2
...
180. 第2个九宫存在数字9
181. 第3个九宫存在数字1
...
242. 第9个九宫存在数字8
243. 第9个九宫存在数字9

对于第i行第j列填写数字k时，位于第t个九宫，其对应的序号为162+(t-1)*9+k

每一个格子只能填一个数字

由于一共有81个格子，所以也是81个约束条件：

244. 第1行第1列填写了数字
245. 第1行第2列填写了数字
246. 第1行第3列填写了数字
...
252. 第1行第9列填写了数字
253. 第2行第1列填写了数字
254. 第2行第2列填写了数字
...
261. 第2行第9列填写了数字
262. 第3行第1列填写了数字
...
323. 第9行第8列填写了数字
324. 第9行第9列填写了数字

对于第i行第j列填写数字k时，其对应的序号为243+(i-1)*9+j

总共有324个约束条件，也就是说对于数独游戏来说，对应的01矩阵有324列。

对于我们填写好的答案，一定会满足这全部324个约束条件。

那么再来看看方案的数量，这里有两种情况：

board[i][j] = 0：即第i行第j列为空格，因此我们可以将1-9中的数字填入，会产生9个不同的方案。

board[i][j] ≠ 0：即第i行第j列已经填了数字，所以这个地方只有1种方案。

那么小Ho，数独问题最多会有多少个方案呢？

小Ho：每一个格子可能填1-9这9个数字，一共有81个格子，所以总共是729个方案。

小Hi：对，由此可以得到数独问题的01矩阵有729行。

最后一步，就是来生成方案所覆盖的约束条件：

假设有方案在第i行第j列填写了数字k，其中第i行第j列是属于第t个九宫的格子。则其对应的约束条件为：

满足了第i行存在数字k。

满足了第j列存在数字k。

满足了第t个九宫存在数字k。

满足了第i行第j列填写有数字。

由此也可以看出，每一个方案恰好对应了4个约束条件。满足324个约束条件一共需要81个方案，也正好对应了数独游戏一共有81个格子的规则。

至此，我们也就构造出了生成数独游戏01矩阵的方法，其伪代码为：

set(i, j, k):

id = (i - 1) * 9 + j // 表示第i行第j列格子的编号

pid = (id - 1) * 9 + k // 表示该格子填写k所对应的方案编号

// 约束条件1 - 对应第1~81列

// 第(i-1)*9+k列表示第i行存在数字k

matrix[ pid ][(i - 1) * 9 + k] = 1

// 约束条件2 - 对应第82~162列
// 第81+(j-1)*9+k列表示第j列存在数字k
matrix[ pid ][81 + (j - 1) * 9 + k] = 1

// 约束条件3 - 对应第163~243列
// 第162+(t-1)*9+k列表示第t个九宫存在数字k
t = ((i - 1) / 3 * 3 + (j - 1) / 3) + 1
matrix[ pid ][162 + (t - 1) * 9 + k] = 1

// 约束条件4 - 对应第244~324列
// 第243+id列表示第i行第j列填写有数字
matrix[ pid ][243 + id] = 1

create(board):

matrix = [] // 设置01矩阵为729*324的矩阵，初始化为全0

For i = 1 .. 9

For j = 1 .. 9

If (board[i][j] == 0) Then

For k = 1 .. 9 // 枚举可能填写的9个数字

set(i, j, k)

End For

Else

set(i, j, board[i][j])

End If

End For

End For

之后的工作只需要将这个矩阵用跳舞链跑一次就可以了！最后根据答案栈中的行数还原出对应的位置和数字，就得到了数独的解。

小Ho：好，让我试试！

小Hi：小Ho，你先别着急。对于数独问题来说，直接使用跳舞链可能会导致超时，因此还有一个可以用到的优化。

小Ho：什么优化啊？

小Hi：这个优化需要改变我们的搜索顺序。每次都选择元素最少的那一列进行搜索，而不是每次都搜素head节点右边的节点。

额外增加一个cnt数组来记录每一列除了头结点外的节点个数。同时需要修改原来的跳舞链函数：

build函数中纵向增加节点的部分：

For j = 1 .. m

pre = columnHead[j]

For i = 1 .. n

If (board[i][j] == 1) Then

cnt[j] = cnt[j] + 1 // 计数器增加

p = node[ id[i][j] ]

p.down = pre.down

p.up = pre

pre.down.up = p

pre.down = p

pre = p

End If

End For

End For

remove函数中需要修改对应列的计数：

While (p2 != p)

// 获取该列下的每一个节点p2

p3 = p2.right

While (p3 != p2)

// 获取节点p2所在行的其他节点p3

p3.down.up = p3.up

p3.up.down = p3.down

cnt[ p3.y ] = cnt[ p3.y ] - 1 // 计数器减少

p3 = p3.right

End While

p2 = p2.down

End While

resume函数中需要修改对应列的计数：

While (p2 != p)

// 获取该列下的每一个节点p2

p3 = p2.right

While (p3 != p2)

// 获取节点p2所在行的其他节点p3

p3.down.up = p3

p3.up.down = p3

cnt[ p3.y ] = cnt[ p3.y ] + 1 // 计数器增加

p3 = p3.right

End While

p2 = p2.down

End While

dance函数中需要去查找cnt最小的列：

dance(depth):

If (head.right == head) Then

// 若head的右边就是head自己，则已经找到解

Return True;

End If

p = findMinCnt(head) // 从head右边的所有节点中找到cnt最小的

p2 = p.down

If (p2 == p) Then

// 当前列没有节点，则当前列一定不会被覆盖

Return false

End If

...

ans[(p2.x - 1) / 81 + 1][((p2.x - 1) / 9) % 9 + 1] = (p2.x - 1) % 9 + 1

...

小Ho：我知道了！我这加上这个优化。