【康拓拓展】NYOJ-143.第几是谁

康托展开

　　康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。

　　这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以

X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!

关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？

a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。

a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。

a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。

a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）

所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0

A C B | 1

B A C | 2

B C A | 3

C A B | 4

C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？

　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有

3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20

1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20

0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20

0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20

等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：



知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

这样我们就能写出一个函数 Permutation3()，它可以返回  s 的第 m 个排列。

前面的内容从http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/6966805转载

NYOJ-143.第几是谁--代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main() {
int f[12] = {1};
for (int i = 1; i <= 11; i++)
f[i] = f[i-1] * i;
int t, a[14], book[14], c[14];
cin >> t;
while(t--) {
memset(book, 0, sizeof(book));
memset(c, 0, sizeof(c));
int m;
cin >> m;
m--;
//求a[i]
for(int i = 11; i >= 0; i--) {
a[i] = m / f[i];
m = m % f[i];
}
//找第a[i]大的字符
for(int i = 11; i >= 0; i--) {
int cnt = -1, tmp;
for(int j = 0; j < 12; j++) {
if(cnt != a[i] && book[j] != 1) {
cnt++;
tmp = j;
}
}
book[tmp] = 1;
c[i] = tmp;
}
for(int i = 11; i >= 0; i--)
printf("%c", c[i] + 'a');
cout << endl;
}
}