【BZOJ2226】LCM SUM，数论之一维LCM（莫比乌斯反演）

Time:2016.06.18

Author:xiaoyimi

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思路：

一开始的我只能推出一个O(n√⋅n√=n)的式子（两次分块），但是O(Tn)的复杂度对于这道题并不科学……

后来发现求n以内与n互质的数的和可以O(1)求o_O

神奇的反演……

∑ni=1lcm(i,n)

=∑ni=1nigcd(i,n)

=∑ni=1∑nd=1ni[gcd(i,n)=d]d

=∑ni=1∑nd=1[d|i][d|n]ni[gcd(id,nd)=1]d

=∑nd=1∑ndi=1[d|n][gcd(i,nd)=1]i⋅n

=∑nd=1[d|n]n⋅f(nd)

其中f(n)

=∑ni=1[gcd(i,n)=1]i

=∑ni=1i∑nd=1[d|i][d|n]μ(d)

=∑nd=1[d|n]μ(d)⋅d∑ndi=1i

=∑nd=1[d|n]μ(d)⋅d⋅(nd+1)⋅nd/2

=∑nd=1[d|n]μ(d)⋅n⋅(nd+1)/2

通过φ=μ×id，e=μ×1

=n2(φ(n)+e(n))

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define M 1000004
#define LL long long
using namespace std;
int n,T;
int prime[M>>2],phi[M];
bool vis[M];
LL ans;
int in()
{
int t=0;char ch=getchar();
while (ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<3)+(t<<1)+ch-48,ch=getchar();
return t;
}
LL cal(int n){return (LL)n*(phi
+(n==1))/2;}
main()
{
for (int i=2;i<=M-4;i++)
{
if (!vis[i])
prime[++prime[0]]=i,
phi[i]=i-1;
for (int j=1;j<=prime[0];j++)
if (i*prime[j]>M-4) break;
else
{
vis[i*prime[j]]=1;
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-(i%prime[j]!=0));
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
phi[1]=1;
for (T=in();T;T--)
{
n=in();
ans=0;
for (int d=1;d*d<=n;d++)
if (n%d==0)
{
ans+=cal(n/d);
if (d*d<n) ans+=cal(d);
}
printf("%lld\n",ans*n);
}
}