＋－×÷美丽的等式

[1502.03501] Single Digit Representations of Natur…

case 0

3⋅4=1233⋅34=1122333⋅334=1112223333⋅3334=11112222⋯

m 个 3 构成的数与其直接后继的积是一个 2m 位数，其前m位为1，后m位为2。

case 1

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1+1+1)×37=111(2+2+2)×37=222(3+3+3)×37=333(4+4+4)×37=444(5+5+5)×37=555(6+6+6)×37=666(7+7+7)×37=777(8+8+8)×37=888(9+9+9)×37=999

道理：111/37=3

case 2

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪121=11×1112321=111×1111234321=1111×1111123454321=11111×1111112345654321=111111×111111234567654321=1111111×1111111123456787654321=11111111×1111111112345678987654321=111111111×111111111

道理：111⋯1×111⋯1（转换为竖式乘法一目了然）。

case 3

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1+2+1)×121=22×22(1+2+3+2+1)×12321=333×333(1+2+3+4+3+2+1)×1234321=4444×4444⋮(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)×12345678987654321=999999999×999999999

道理在于：

[1+2+3+⋯+(n−1)]+n+[(n−1)+⋯+3+2+1]=n2

case 4

5=11−11+1=22−22+2=33−33+3=44−44+4=55−55+5=⋯=99−99+9

道理：

5=(10k+k)−kk+k

case 5

6=11+11+1=22+22+2=33+33+3=44+44+4=55+55+5=⋯=99+99+9

道理：

6=(10k+k)+kk+k