【NOI 2016模拟6.16】gene

题目描述

你有n个数{a1,⋯,an}，以及m个数{b1,⋯,bm}

对于任意一个ai，你可以任意选择任意多个abii乘起来对p取模，得到若干个数。

问所有这样子得到的数的并集大小。

n≤104,m≤105,1<p≤109，且p是个质数。

分析

首先a−bji是会被取到的，只需要取循环节的上一个就可以了。

那么根据裴蜀定理，∀x∈[0,p−1),(b0,b1,⋯,bm,p−1)|x都可以被取到。

考虑到如此多个ai取并集不好做，那么求出离散对数以后，这个底数都会变成原根。问题就放到指数上了。

也就是说，我们记(ind(ai),b1,⋯,bm,p−1)=ci

考虑怎么计算这个ci。根据最大公约数的性质，这个东西等价于(ind(ai),(b1,⋯,bm,p−1))

ind(x)可以用离散对数算出来，但是考虑到这里我们需要求它和别的东西的最大公约数，我们没必要真的算出离散对数。

考虑x的阶ord(x)，根据定义，ind(x)ord(x)≡0(modφ(p))，也就是说ind(x)=kφ(p)ord(x)，且ord(x)与k互质。

考虑费马小定理aφ(p)≡1(modp)，那么ord(x)必定是φ(p)的约数。

下证(ind(x),φ(p))=(φ(p）ord(x),φ(p))=φ(p)ord(x)

左式可以如下变换。

(ind(x),φ(p))=(ind(x)ord(x),ord(x)φ(p))ord(x)=(kφ(p),ord(x)φ(p))ord(x)=φ(p)(k,ord(x))ord(x)

由于(k,ord(x))=1，故左式等于右式。

有了这个以后，我们就可以在这个问题里将阶来取代离散对数起到相同的作用。

之后的问题就是给定n个ci，问有点多少个数至少是一个ci的倍数。

形式化地说，我们需要统计有多少个x，满足

x∈[0,φ(p)),∃i,ci|x

又因为ci|n，故ci|(n,x)

那么我们就可以枚举最大公约数，剩下的式子就是

∑d=1n[∃i,ci|d]φ(nd)

时间复杂度O(mlogbi+σ0(p)nlogp+nlnn)

空间复杂度O(n)