混合高斯模型算法

下面介绍一下几种典型的机器算法

首先第一种是高斯混合模型算法:

高斯模型有单高斯模型（SGM）和混合高斯模型（GMM）两种。

（1）单高斯模型：



为简单起见，阈值t的选取一般靠经验值来设定。通常意义下，我们一般取t=0.7-0.75之间。



二维情况如下所示：



（2）混合高斯模型：

 



      对于(b)图所示的情况，很明显，单高斯模型是无法解决的。为了解决这个问题，人们提出了高斯混合模型（GMM），顾名思义，就是数据可以看作是从数个高斯分布中生成出来的。虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ，但是 GMM是 最为流行。另外，Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的，通过增加 Model 的个数，我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。

    每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：

 


                （1）

其中，πk表示选中这个component部分的概率，我们也称其为加权系数。

根据上面的式子，如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步：

（1）首先随机地在这 K 个 Component 之中选一个，每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 πk，选中了
Component 之后，再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布，转化为了已知的问题。假设现在有 N 个数据点，我们认为这些数据点由某个GMM模型产生，现在我们要需要确定 πk,μk,σk 这些参数。很自然的，我们想到利用最大似然估计来确定这些参数，GMM的似然函数如下：


        （2）

 

在最大似然估计里面，由于我们的目的是把乘积的形式分解为求和的形式，即在等式的左右两边加上一个log函数，但是由上文博客里的（2）式可以看出，转化为log后，还有log(a+b)的形式，因此，要进一步求解。

我们采用EM算法，分布迭代求解最大值：

EM算法的步骤这里不作详细的介绍，可以参见博客：

http://blog.pluskid.org/?p=39

贴出代码：

1 function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
2 % ============================================================
3 % Expectation-Maximization iteration implementation of
4 % Gaussian Mixture Model.
5 %
6 % PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
7 % [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
8 %
9 %  - X: N-by-D data matrix.
10 %  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
11 %       components or a K-by-D matrix indicating the
12 %       choosing of the initial K centroids.
13 %
14 %  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
15 %       component generating each point.
16 %  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
17 %       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
18 %       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
19 %       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
20 % ============================================================
21
22     threshold = 1e-15;
23     [N, D] = size(X);
24
25     if isscalar(K_or_centroids)
26         K = K_or_centroids;
27         % randomly pick centroids
28         rndp = randperm(N);
29         centroids = X(rndp(1:K), :);
30     else
31         K = size(K_or_centroids, 1);
32         centroids = K_or_centroids;
33     end
34
35     % initial values
36     [pMiu pPi pSigma] = init_params();
37
38     Lprev = -inf;
39     while true
40         Px = calc_prob();
41
42         % new value for pGamma
43         pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
44         pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);
45
46         % new value for parameters of each Component
47         Nk = sum(pGamma, 1);
48         pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
49         pPi = Nk/N;
50         for kk = 1:K
51             Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
52             pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
53                 (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
54         end
55
56         % check for convergence
57         L = sum(log(Px*pPi'));
58         if L-Lprev < threshold
59             break;
60         end
61         Lprev = L;
62     end
63
64     if nargout == 1
65         varargout = {Px};
66     else
67         model = [];
68         model.Miu = pMiu;
69         model.Sigma = pSigma;
70         model.Pi = pPi;
71         varargout = {Px, model};
72     end
73
74     function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
75         pMiu = centroids;
76         pPi = zeros(1, K);
77         pSigma = zeros(D, D, K);
78
79         % hard assign x to each centroids
80         distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
81             repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
82             2*X*pMiu';
83         [dummy labels] = min(distmat, [], 2);
84
85         for k=1:K
86             Xk = X(labels == k, :);
87             pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
88             pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
89         end
90     end
91
92     function Px = calc_prob()
93         Px = zeros(N, K);
94         for k = 1:K
95             Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
96             inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
97             tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
98             coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
99             Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
100         end
101     end
102 end

    函数返回的 

Px

 是一个 

 的矩阵，对于每一个 

 ，我们只要取该矩阵第 

 行中最大的那个概率值所对应的那个
Component 为 

 所属的
cluster 就可以实现一个完整的聚类方法了。

 

参考资料：

【C++代码】

http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html

http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html

http://bubblexc.com/y2011/8/

http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1#comments