[bzoj2005][Noi2010]能量采集

Description

在平面直角坐标系中，点(x,y)的代价定义为它和原点的连线中经过多少的其他整点个数*2+1。求横坐标在1~n且纵坐标在1~m的所有点的代价和。

n,m<=10^5

Solution

首先，一个点的代价就是gcd(x,y)*2-1（蒟蒻不会证，各路大犇们带带我呗）

然后，我们就变成了要求∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)了。

很经典的莫比乌斯反演。

首先，设f(d)表示有多少个gcd(i,j)=d，g(d)表示有多少个gcd(i,j)是d的倍数。

那么很明显，g(d)=⌊nd⌋∗⌊md⌋

则根据反演得f(d)=∑i=1⌊nd⌋μ(i)g(di)

即f(d)=∑i=1⌊nd⌋μ(i)⌊ndi⌋∗⌊mdi⌋

那么Ans=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋μ(i)⌊ndi⌋∗⌊mdi⌋

第一个∑和第二个∑各分一次块就好了。（分块大法好）

当然，我们也可以预处理出后面的东西，或者先变形一下再预处理，然后就能分块根号n（似乎没卵用）

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=1000000000+7;
ll ans,n,m,p
,mu
;
bool bz
;
ll calc(ll n,ll m) {
ll ans=0;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(m/l);
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if (n>m) swap(n,m);mu[1]=1;
fo(i,2,n) {
if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
fo(j,1,p[0]) {
int k=p[j]*i;if (k>n) break;
bz[k]=1;if (!(i%p[j])) break;
mu[k]=-mu[i];
}
}
fo(i,1,n) mu[i]+=mu[i-1];
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=(r+l)*(r-l+1)/2*calc(n/l,m/l);
}
printf("%lld\n",ans*2-n*m);
}