不等式的研究

0. 热身

a2>(a+1)⋅(a−1)

由代数和几何的关系可知，a2 可以表示为一个正方形区域的面积，(a−1)(a+1) 则是一个长方形的面积，(a+1)(a−1)=a2−1，显然 a2>(a−1)(a+1)

可将该问题做进一步延伸，设有长度为 2L 的线段，如何分配才能使其围成的面积（使其为矩形）最大，其一半的长度为 L，设长和宽分别是，L/2+k，L/2-k，此时，所围区域的面积为 L^2/4-k^2，显然当 k = 0时，面积达到最大。

a2>(a+1)⋅(a−1)⇒a2=1+(a+1)⋅(a−1)⇒a=1+(a−1)⋅(a+1)−−−−−−−−−−−−−−−−√

n−|a|≤n+a≤n+|a|

其实可以更确切地说，当 a 为非负数时，n+a=n+|a|，当 a 为非正数时，n+a=n−|a|

1. 不等式的四则运算

{|a|<α|b|<β⇒|a−b|<α+β

2. 复杂的函数

f(x)=∑ia2ix2−2∑iaixbi+∑ib2i=∑i(aix−bi)2≥0

根据其形式要迅速能发现其值域情况（恒大于等于0）。

3. 不等式两边同时平方

a>b ⇒ a2−b2=(a−b)(a+b)，也即只有在 a+b>0 时，不等式两边才成立；

4. a2+b2≥2ab

a+b≥2ab−−√，ab≤(a+b)24

a+b=1，ab≤14

5. 由小于（<）变成小或等于（≤）

已知 h 和 n 均表示整数，

2h−1<n≤2h+1−1

比 2h−1 大的下一个整数是，2h，2h≤n

比 2h+1−1 大的下一个整数是，2h+1，n<2h+1

所以可以进一步转化为：

2h≤n<2h+1

等式两边同时取对数，得到 h≤log2n<h+1 ⇒ log2n−1<h≤log2n

(log2n−1,log2n] 中间一定会经过一个整数，这个整数就是 h=⌊log2n⌋