《数值分析》总结

《数值分析》总结

标签：数值分析

Me	[LOL]
Qyetfu	zhengdongjian@tju.edu.cn

第一章 误差

绝对误差 e∗=x∗−xe^{*} = x^{*} - x

相对误差 e∗r=e∗xe^{*}_{r} = \frac{e^{*}}{x}，常取 e∗r=e∗x∗e^{*}_{r} = \frac{e^{*}}{x^{*}}

误差限/绝对误差限 ϵ∗≥e∗\epsilon^{*} \ge e^{*}，绝对误差的上限

相对误差限 ϵ∗r≥e∗r→e∗\epsilon^{*}_{r} \ge e^{*}_{r} \to \frac{e^{*}}{}，相对误差的上限

误差的四个类型

数学模型和实际问题的误差： 模型误差

测量物理量(e.g. 长度，温度)时的误差： 观测误差

计算方法的误差：截断误差

计算结果在计算机中因字长限制保存时出现的误差：舍入误差

一个计算方法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的。 → \to~条件数

误差的四则运算

加减法：ϵ(x∗1±x∗2)=ϵ(x∗1)±ϵ(x∗2)\epsilon(x_{1}^{*} \pm x_{2}^{*}) = \epsilon(x_{1}^{*}) \pm \epsilon(x_{2}^{*})

乘法：ϵ(x∗1×x∗2)=|x∗1×ϵ(x∗2)+|x∗2|×ϵ(x∗1)\epsilon(x_{1}^{*} \times x_{2}^{*}) = | x_1^{*} \times \epsilon(x_{2}^{*}) + |x_2^{*}| \times \epsilon(x_{1}^{*})

除法：ϵ(x∗1x∗2)=|x∗1|×ϵ(x∗2)+|x∗2|×ϵ(x∗1)|x∗2|2{\epsilon({x_{1}^{*} \over x_{2}^{*}}}) = {{|x_1^{*}| \times \epsilon(x_{2}^{*}) + |x_2^{*}| \times \epsilon(x_{1}^{*})}\over{|x_{2}^{*}|^2}}

第二章 插值法

[一般的]多项式插值：P(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnP(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n

牛顿插值：N(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…N(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + \dots

拉格朗日插值：L(x)=(x−x1)(x−x2)…(x0−x1)(x0−x2)…f(x0)+(x−x0)(x−x2)(x−x3)…(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)…f(x1)+…L(x) = {(x-x_1)(x-x_2)\dots\over(x_0-x_1)(x_0-x_2)\dots}f(x_0) + {(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)\dots\over (x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)\dots}f(x_1) + \dots L(x)=∑i=1n(x−x0)(x−x1)…(x−xi−1)(x−xi+1)…(x−xn)(xi−x0)(xi−x1)…(xi−xi−1)(xi−xi+1)…(xi−xn)f(xi)L(x) = \sum_{i=1}^{n}{(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_{n})\over(x_i-x_0)(x_i-x_1)\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots(x_i-x_{n})}f(x_i)

[牛顿插值法]均差表构造

xix_i	yiy_i	一阶均差	二阶~	三阶	…\dots
x0x_0	y0y_0
x1x_1	y1y_1	f[x0,x1]=y1−y0x1−x0f[x_0, x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}
x2x_2	y2y_2	f[x1,x2]=y2−y1x2−x1f[x_1, x_2] = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}	f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]−f[x0,x1]x2−x0f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}
…\dots	…\dots	…\dots	…\dots	…\dots	…\dots

第三章 函数逼近

权函数∫baρ(x)g(x)dx\int_{a}^{b}\rho(x)g(x)\mathrm{d}x

函数内积(f(x),g(x))=∫baρ(x)f(x)g(x)dx(f(x), g(x)) = \int_{a}^{b}\rho(x)f(x)g(x)\mathrm{d}x

两函数内积为0，则称它们在[a,b][a,b]上带权ρ(x)\rho(x)正交

正交函数族：函数族ϕ0(x),ϕ1(x),...\phi_{0}(x), \phi_{1}(x),...满足(ϕj,ϕk)=∫baρ(x)ϕj(x)ϕk(x)dx=0(j≠k)|Ak>0(j=k)(\phi_{j}, \phi_{k}) = \int_{a}^{b}\rho(x)\phi_{j}(x)\phi_k(x)\mathrm{d}x = 0(j\ne k) | A_k > 0(j = k)

勒让德多项式 P0(x)=1,Pn(x)=12nn!dndxn(x2−1)nP_0(x) = 1, P_n(x) = {1\over 2^nn!}{\mathrm{d}^n\over \mathrm{d}x^n}(x^2-1)^n

第四章 数值积分方法

代数精度：如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对m+1次不准确成立，则称其具有m次代数精度

梯形公式：∫baf(x)dx=b−a2[f(a)+f(b)]\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]

矩形公式：∫baf(x)dx=b−a[f(a+b2)]\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = {b-a}[f(\frac{a+b}{2})]

牛顿-科斯特公式

nn次的牛顿-科斯特公式至少具有nn次代数精度;

当nn为偶数时，则至少具有n+1n+1次代数精度。

二阶为辛普森公式，系数：b−a6→1→4→1\frac{b-a}{6}\to1\to4\to1

四阶系数：b−a90→7→32→12→32→7\frac{b-a}{90}\to7\to32\to12\to32\to7

辛普森公式：S=b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]S=\frac{b-a}{6}[f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)]

余项：R[f]=−b−a180(b−a2)4f(4)(η)R[f] = -\frac{b-a}{180}(\frac{b-a}{2})^4f^{(4)}(\eta)

复合求积公式(令h=b−ah=b-a)

复合梯形：Tn=h2[f(a)+2∑n−1k=1f(xk)+f(b)]T_n=\frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]，误差为O(h2)O(h^2)

复合辛普森：Sn=h6[f(a)+4∑n−1k=0f(xk+12)+2∑n−1k=1f(xk)+f(b)]S_n=\frac{h}{6}[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]，误差阶O(h4)O(h^4)

高斯求积公式

高斯-勒让德公式

第五章 消元

第六章 迭代法

A=D−L−UA = D - L - U

A A~为原系数矩阵

D D~为 A ~A~的对角线元素构成的矩阵(diagonal?)

L L~为 A ~A~的下三角矩阵(lower?)

U U~为 A ~A~的上三角矩阵(upper?)

雅克比迭代，迭代矩阵 B=D−1(L+U)~B = D^{-1}(L+U)

高斯-赛德尔迭代，迭代矩阵 G=(D−L)−1U~G = (D - L)^{-1}U

迭代收敛充要条件: 迭代矩阵谱半径 ρ(B)<1~\rho(B) < 1

迭代收敛充分条件: 迭代矩的某个范数 ||B||<1~||B||< 1

第七章 非线性方程的数值解法

不动点存在且唯一的条件：

C[a,b]→a≤φ(x)≤bC[a,b]\to a\le \varphi(x)\le b

∃L<1,|φ(x)−φ(y)|≤L|x−y|\exists L < 1, |\varphi(x)-\varphi(y)|\le L|x-y|

局部收敛：φ(x)\varphi(x)在x∗x^*的某个邻连续，并且|φ′(x∗)|<1|\varphi'(x^*)|<1

若xk+1xpk→C,C≠0\frac{x_{k+1}}{x_k^p}\to C, C\ne 0，则称迭代过程是pp阶收敛的。

p=1 p=1~称为线性收敛

p>1 p>1~称为超线性收敛

p=2 p=2~称为平方收敛

若φ′(x∗)=φ′′(x∗)=⋯=φ(n−1)(x∗)=0,φ(n)(x∗)≠0\varphi'(x^*)=\varphi''(x^*)=\dots=\varphi^{(n-1)}(x^*)=0,\varphi^{(n)}(x^*)\ne 0，则该迭代过程在x∗x^*附近是pp阶收敛的

迭代法误差估计：若有不动点x∗x^*，则误差估计为|xk−x∗|≤Lk1−L|x1−x0||x_k-x^*|\le \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|

二分法

当求出有根区间为(a,b)(a,b)时，误差为|b−a|2\frac{|b-a|}{2}

牛顿法

φ(x)=x−f(x)f′(x)\varphi(x)=x - \frac{f(x)}{f'(x)}, 是平方收敛的

简化牛顿法：φ(x)=x−f(x)f′(x0)\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x_0)}，线性收敛。

牛顿下山法：φ(x)=x−λf(xk)f′(xk)\varphi(x) = x - \lambda \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}，λ\lambda称为下山因子，初始取λ=1\lambda=1，逐次减半直到满足|f(xk+1)|<|f(xk)||f(x_{k+1})|<|f(x_k)|

弦截法

φ(x)=x−f(x)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1\varphi(x) = x - \frac{f(x)}{\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}}，用差商代替牛顿法中的导数。超线性收敛(p=1+5√2≈1.618p = \frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.618)

第九章 常微分方程处置问题数值解法

欧拉法：yn+1=yn+h∗f(xn,yn)y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)

改进欧拉法

预测：y′n+1=yn+h∗f(xn,yn)y'_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)

校正：yn+1=yn+h2∗[f(xn,yn)+f(xn+1,y′n+1)]y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*[f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y'_{n+1})]

R-K法

二阶中点：yn+1=yn+h∗(f(xn,yn)+f(xn+h2,yn+h2f(xn,yn))y_{n+1} = y_n + h * (f(x_n, y_n) + f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}f(x_n, y_n))

二阶休恩：yn+1=yn+h4(K1+3K2)y_{n+1} = y_n + \frac{h}{4}(K_1 + 3K_2)

K1=f(xn,yn)K_1 = f(x_n, y_n)

K2=f(xn+23h,yn+23hK1)K_2 = f(x_n + \frac{2}{3}h, y_n + \frac{2}{3}hK_1)