单样本和两样本的统计推断：置信区间和假设检验

《商务与经济统计学》读书笔记 6

1 相关概念

置信区间（confidence interval）：用一个区间范围来估计总体参数，和点估计对比。

点估计：用一个数值来估计总体参数。

置信系数（confidence coefficient）：置信区间包含总体参数的概率。

置信水平（confidence level）：置信系数的百分比表示形式。

常见目标参数

参数	概念	数据类型
μ	均值；平均数	定量
p	比例；百分比	定性
σ2	方差；变异；散步	定量

2 置信区间—单样本的统计推断

2.1 大样本置信区间：正太（z）统计量

对于正太分布（z分布）的统计量，μ在大样本下（1−α）的置信区间

α已知：x¯±zα/2σx=x¯±zα/2σn√

α未知：x¯±zα/2σx=x¯±zα/2sn√

大样本置信区间的条件：

1.目标总体中选择一个随机样本

2.样本容量很大（n≥30）。中心极限定理，保证了x¯的抽样分布近似正态分布。

2.2 小样本置信区间：学生（t）统计量

（t分布）的统计量，μ在小样本下（1−α）的置信区间

α已知：x¯±tα/2σx¯=x¯±tα/2σn√

α未知：x¯±tα/2σx=x¯±tα/2sn√

其中tα/2是基于n−1个自由度t分布中右尾面积α/2对应的t值。

小样本置信区间的条件：

1.目标总体中选择一个随机样本

2.总体相对频数分布近似于标准正态分布。

2.3 大样本置信区间：总体比例（p）统计量

对于重复抽样分布（p^分布）的统计量，p的大样本下（1−α）的置信区间

p^±zα/2σp^=p^±zα/2pqn−−−√

说明：

1.p^的抽样分布均值是p，p^是p的无偏估计值。

2.p^的抽样分布标准差是pq/n−−−−√，其中q=1−p。

3.对于大样本，p^的抽样分布是近似正太的，如果np^≥15和nq^≥15同时成立，样本被视为大样本。

大样本置信区间的条件：

1.目标总体中选择一个随机样本

2.样本容量很大（如果np^≥15和nq^≥15同时成立）。

p值调整：

当p值接近1或者0时，大样本的条件很难满足，可以对总体比例进行调整。

总体比例p调整后的置信区间。

p˘±zα/2σp˘=p˘±zα/2p˘(1−p˘)n+4−−−−−−−−√

其中，p˘=x+2n+4。

2.4 样本量的确定

总体均值

根据μ的1−α置信区间确定样本量

zα/2(σn√)=ME

则可以得到

n=(zα/2)2σ2ME2

总体比例

根据p的1−α置信区间确定样本量

zα/2(pqn−−−√)=ME

则可以得到

n=(zα/2)2pqME2

2.5 总体方差(σ2)统计量:χ2分布

σ2的1−α的置信区间

(n−1)s2χ2α/2≤σ2≤(n−1)s2χ2(1−α/2)

χ2α/2和χ2（1−α/2）代表自由度为n−1的卡方分布右尾和左尾面积为α/2所对应的值。

σ2有效置信区间的条件：

1.从目标总体中选择一个随机样本。

2.总体的频率分布近似正太。

3 假设检验—单样本统计推断

3.1检验统计量、拒绝域及P值

检验统计量和拒绝域

原假设(H0)：μ=μ0

备择假设(Ha)：μ≠μ0

检验统计量:z=x¯−μσx¯=x¯−μσ/n√



当z落在拒绝域时，我们认为这是一个小概率事件(p=α)，发生的可能性非常低，因此原假设不正确，因而拒绝原假设。

当z落在接受区域，则没有充分的理由来拒绝原假设。（但是也没有充分理由接受原假设）

此时涉及两类错误：

第I类错误：H0为真的情况下拒绝原假设而接受备择假设，犯第I类错误的概率为α。

第II类错误：H0为假的情况下接受原假设，犯第II类错误的概率为β。

结论	H0为真	Ha为真
接受H0	正确决定	第II类错误（概率为β）
拒绝H0	第I类错误（概率为α）	正确决定

p值：显著性水平

1.计算z值，zp=x¯−μσx¯

2.如果是单侧检验，那么p值就是靠近备择假设区域的面积。

如备择假设是>，那么p=P(z>zp)如备择假设是<，那么p=P(z<zp);

3.如果是双侧检验，那么那么p值就是靠近备择假设区域的面积的两倍。

p=P(z>|zp|)

p值作为检验结果的优势：

1.p小于显著水平α，那么拒绝原假设。

2.可以通过p来确定能容忍的最大α值。

3.2 假设检验：正太（z）;学生（t）;比例（p）；总体方差

双侧检验：

统计量	大样本总体均值	小样本总体均值	总体比例（p）	总体方差
分布	正太（z）	学生（t）	（p）	σ2
H0	μ=μ0	μ=μ0	p=p0	σ2=σ20
Ha	μ≠μ0	μ≠μ0	p≠p0	σ2≠σ20
检验统计量	z=x¯−μ0σ/n√	t=x¯−μ0s/n√	z=p^−p0σp^=p^−p0p0q0/n√	χ2=(n−1)s2σ20
拒绝域	|z|>zα/2	|t|>tα/2	|z|>zα/2	χ2<χ2(1−α/2)

4 置信区间和假设检验—两样本的统计推断

目标参数：

参数	概念	数据类型
μ1−μ2	均值差；平均上的差异	定量
p1−p2	比例差；百分比差；比率差	定性
σ21/σ22	方差比值；变异差异	定量

4.1 大样本总体均值

x1¯−x2¯抽样分布性质

1.x1¯−x2¯的抽样分布均值是μ1¯−μ2¯。

2.如果两个样本相互独立，抽样分布的标准差：

σ(x¯1−x¯2)=σ21n1+σ22n2−−−−−−−−√

3.根据中心极限定理，x1¯−x2¯的抽样分布在大样本下近似服从正太分布。

独立大样本情况下μ1−μ2的置信区间：正太z

(x1¯−x2¯)±za/2(σ(x1¯−x2¯)=(x1¯−x2¯)±za/2σ21n1+σ22n2−−−−−−−√≈(x1¯−x2¯)±za/2s21n1+s22n2−−−−−−−√

独立大样本情况下μ1−μ2的假设检验：正太z

	单侧检验	双侧检验
H0	μ1−μ2=D0	μ1−μ2=D0
Ha	μ1−μ2<D0（或μ1−μ2>D0）	μ1−μ2≠D0
检验统计量z	z=(x1¯−x2¯)−D0σ(x¯1−x¯2)=(x1¯−x2¯)−D0σ21n1+σ22n2√≈(x1¯−x2¯)−D0s21n1+s22n2√
拒绝域	z<−zα或z>zα	|z|>zα/2
有效大样本统计推断条件	1.两个样本独立的方式从总体中随机抽取 2样本量n1和n2都很大。

4.2 小样本总体均值

混合样本估计量s2p

1.σ2混合样本估计量表示为s2p

s2p=(n1−1)s21+(n2−1)s22(n1−1)+(n2−1)=(n1−1)s21+(n2−1)s22(n1+n2−2)

独立小样本情况下μ1−μ2的置信区间：学生t

(x1¯−x2¯)±ta/2s2p(1n1+1n2)−−−−−−−−−−√=(x1¯−x2¯)±ta/2(n1−1)s21+(n2−1)s22(n1+n2−2)(1n1+1n2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

独立小样本情况下μ1−μ2的假设检验：正太t

	单侧检验	双侧检验
H0	μ1−μ2=D0	μ1−μ2=D0
Ha	μ1−μ2<D0（或μ1−μ2>D0）	μ1−μ2≠D0
检验统计量t	t=(x1¯−x2¯)−D0s2p(1n1+1n2)√
拒绝域	t<−tα或t>tα	|t|>tα/2
有效大样本统计推断条件	1.两个样本独立的方式从两个目标总体中随机抽取 2两个被抽样的总体近似服从正态分布 3两个总体具有相同的方差（σ21=σ22）

若σ21≠σ22的情况

1.样本量相同（n1=n2=n）

置信区间:(x1¯−x2¯)±ta/2(s21+s22)/n−−−−−−−−−√

H0:μ1−μ2=0下的检验统计量：t=(x1¯−x2¯)(s21+s22)/n−−−−−−−−−√

t是基于自由度v=n1+n2−2=2(n−1)。

2.样本量不相同（n1≠n2）

置信区间:(x1¯−x2¯)±ta/2(s21/n1+s22/n2)−−−−−−−−−−−−−√

H0:μ1−μ2=0下的检验统计量：t=(x1¯−x2¯)(s21/n1+s22/n2)−−−−−−−−−−−−−√

t是基于自由度v=(s21/n1+s22/n2)2(s21/n1)2n1−1+(s22/n2)2n2−1。

4.3 配对差异试验

对于某些情况，由于某些原因不再符合独立样本，比如考察毕业生男生和女生工资薪酬均值差，如果是独立样本，结果可能因为专业和平均成绩差异而变化比较大，因此可以根据专业和平均成绩进行匹配。

配对差异试验的置信区间：

配对差异试验μd=(μ1−μ2)的置信区间。

大样本

d¯±zα/2σdnd√≈d¯±zα/2σdnd√

小样本

d¯±tα/2σdnd√

其中，tα/2是基于自由度为nd−1的。

配对差异试验的假设检验：

	单侧检验	双侧检验
H0	μd=D0	μd=D0
Ha	μd<D0（或μd>D0）	μd≠D0
大样本
检验统计量z	z=d¯−D0σd/nd√≈d¯−D0sd/nd√
拒绝域	z<−zα或z>zα	|z|>zα/2
有效大样本统计推断条件	1随机样本差值是从两个目标总体中随机抽取 2样本量nd很大（σ21=σ22）
小样本
检验统计量t	t=d¯−D0sd/nd√
拒绝域	t<−tα或t>tα	|t|>tα/2
有效小样本统计推断条件	1.随机样本差值是从两个目标总体中随机抽取 2总体差异近似服从正态分布

4.3 总体比例

p1^−p2^抽样分布性质

1.p1^−p2^的抽样分布均值是p1−p2。即：

E(p1^−p2^)=p1−p2

2.如果两个样本相互独立，抽样分布的标准差：

σ(p1^−p2^)=p1q1n1+p2q2n2−−−−−−−−−−−√

3.根据中心极限定理，p1^−p2^的抽样分布在大样本下近似服从正太分布。

独立大样本情况下p1−p2的置信区间：

(p1^−p2^)±za/2σ(p1^−p2^)=(p1¯−p2¯)±za/2p1q1n1+p2q2n2−−−−−−−−−√≈(p1^−p2^)±za/2p1^q1^n1+p2^q2^n2−−−−−−−−−√

独立大样本情况下p1−p2的假设检验：正太z

	单侧检验	双侧检验
H0	p1−p2=0	p1−p2=0
Ha	p1−p2<0（或p1−p2>0）	p1−p2≠0
检验统计量z	z=(p1^−p2^)σ(x^1−x^2)=(p1^−p2^)p1q1n1+p2q2n2√≈(p1^−p2^)p1^q1^n1+p2^q2^n2√
拒绝域	z<−zα或z>zα	|z|>zα/2
有效大样本统计推断条件	1.两个样本独立的方式从总体中随机抽取 2样本量n1和n2都很大（n1p^1≥15,n2p^2≥15）。

4.4 样本量确定

总体均值

根据μ1−μ2的1−α置信水平和误差限ME确定样本量

zα/2σ21n1+σ22n2−−−−−−−−√=ME

此时n=n1=n2则可以得到

n=(zα/2)2(σ21+σ212)ME2

总体比例

根据p的1−α置信区间确定样本量

zα/2p1q1n1+p2q2n2−−−−−−−−−−−√=ME

此时n=n1=n2则可以得到

n=(zα/2)2(p1q1+p2q2)ME2

4.5 总体方差：两样本

独立大样本情况下相等方差的F假设检验：F

	单侧检验	双侧检验
H0	σ21=σ22	σ21=σ22
Ha	σ21<σ22或（σ21>σ22）	σ21≠σ22
检验统计量F	F=s22s21（或F=s21s22）	F=较大的样本方差较小的样本方差
拒绝域	F>Fα	F>Fα/2
有效大样本统计推断条件	1.被抽样的总体服从正态分布 样本随机且独立。