树链剖分 模板+HDU 3966 + SPOJ 375 【树剖入门】

【树剖部分原理】来源于Blog:
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树链剖分用一句话概括就是：把一棵树剖分为若干条链，然后利用数据结构(树状数组，SBT，Splay，线段树等等)去维护每一

条链，复杂度为O(logn)

 

 

那么，树链剖分的第一步当然是对树进行轻重边的划分。

定义size(x)为以x为根的子树节点个数，令v为u的儿子中size值最大的节点，那么(u,v)就是重边，其余边为轻边。

 

当然，关于这个它有两个重要的性质：

(1)轻边(u,v)中，size(v)<=size(u/2)

(2)从根到某一点的路径上，不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。

 

 

当然，剖分过程分为两次dfs，或者bfs也可以。

 

如果是两次dfs，那么第一次dfs就是找重边，也就是记录下所有的重边。

然后第二次dfs就是连接重边形成重链，具体过程就是：以根节点为起点，沿着重边向下拓展，拉成重链，不在当前重链上的节

点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链。

 

 

剖分完毕后，每条重链相当于一段区间，然后用数据结构去维护，把所有重链首尾相接，放到数据结构上，然后维护整体。

 

在这里，当然有很多数组，现在我来分别介绍它们的作用：

 

siz[]数组，用来保存以x为根的子树节点个数

top[]数组，用来保存当前节点的所在链的顶端节点

son[]数组，用来保存重儿子

dep[]数组，用来保存当前节点的深度

fa[]数组，用来保存当前节点的父亲

tid[]数组，用来保存树中每个节点剖分后的新编号

rank[]数组，用来保存当前节点在线段树中的位置

 

那么，我们现在可以根据描述给出剖分的代码：

第一次dfs：记录所有的重边

void dfs1(int u,int father,int d)
{
dep[u] = d;
fa[u]  = father;
siz[u] = 1;
for(int i=head[u]; ~i; i=nex[i])
{
int v = to[i];
if(v!=father)
{
dfs1(v,u,d+1);
siz[u] += siz[v];
if(son[u]==-1 || siz[v]>siz[son[u]])
son[u] = v;
}
}
}

第二次dfs：连重边成重链
void dfs2(int u,int tp)
{
top[u] = tp;
tid[u] = ++tim;
Rank[tid[u]] = u;
if(son[u]==-1) return ;
dfs2(son[u],tp);
for(int i=head[u]; ~i; i=nex[i])
{
int v = to[i];
if(v!=son[u] && v!=fa[u])
dfs2(v,v);
}
}

【具体树剖原理和DFS序相关的东西还可以参考这个视频】点击打开链接
【例题一 HDU 3966】点击打开链接

【题意】

            给一棵树，并给定各个点权的值，然后有3种操作：

            I C1 C2 K: 把C1与C2的路径上的所有点权值加上K

            D C1 C2 K：把C1与C2的路径上的所有点权值减去K

            Q C：查询节点编号为C的权值

【解题思路】直接树剖，然后线段树维护即可。

【AC代码】

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 50010;
int n,m,Q;
int tim;
int num[maxn],siz[maxn],top[maxn],son[maxn];
int dep[maxn],fa[maxn],tid[maxn],Rank[maxn];
int head[maxn],to[maxn*2],nex[maxn*2],tot;
//初始化
void Init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(son,-1,sizeof(son));
tim=tot=0;
}

void addedge(int u,int v)
{
to[tot] = v,nex[tot] = head[u],head[u] = tot++;
to[tot] = u,nex[tot] = head[v],head[v] = tot++;
}
//树链剖分
//找重边
void dfs1(int u,int father,int d) { dep[u] = d; fa[u] = father; siz[u] = 1; for(int i=head[u]; ~i; i=nex[i]) { int v = to[i]; if(v!=father) { dfs1(v,u,d+1); siz[u] += siz[v]; if(son[u]==-1 || siz[v]>siz[son[u]]) son[u] = v; } } }
//连重边成重链
void dfs2(int u,int tp)
{
top[u] = tp;
tid[u] = ++tim;
Rank[tid[u]] = u;
if(son[u]==-1) return ;
dfs2(son[u],tp);
for(int i=head[u]; ~i; i=nex[i])
{
int v = to[i];
if(v!=son[u] && v!=fa[u])
dfs2(v,v);
}
}

struct node{
int l,r,sum,col;
}Tree[maxn<<2];

void PushDown(int rt)
{
int m = Tree[rt].r-Tree[rt].l+1;
if(Tree[rt].col)
{
Tree[rt<<1].col += Tree[rt].col;
Tree[rt<<1|1].col += Tree[rt].col;
Tree[rt<<1].sum += Tree[rt].col*(m-(m>>1));
Tree[rt<<1|1].sum += Tree[rt].col*(m>>1);
Tree[rt].col = 0;
}
}
void Build(int l,int r,int rt)
{
Tree[rt].l=l,Tree[rt].r=r,Tree[rt].col=0;
if(l==r)
{
Tree[rt].sum = num[Rank[l]];
return ;
}
int m = (l+r)/2;
Build(l,m,rt<<1);
Build(m+1,r,rt<<1|1);
}
void Update(int L,int R,int val,int rt)
{
if(L<=Tree[rt].l&&Tree[rt].r<=R)
{
Tree[rt].col += val;
Tree[rt].sum += val*(Tree[rt].r-Tree[rt].l+1);
return ;
}
PushDown(rt);
int mid = (Tree[rt].l+Tree[rt].r)/2;
if(L<=mid) Update(L,R,val,rt*2);
if(mid<R) Update(L,R,val,rt*2+1);
}
int Query(int pos,int rt)
{
if(Tree[rt].l==Tree[rt].r) return Tree[rt].sum;
PushDown(rt);
int mid = (Tree[rt].l+Tree[rt].r)/2;
if(pos <= mid) return Query(pos,rt*2);
else return Query(pos,rt*2+1);
}
void Change(int x,int y,int val)
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
Update(tid[top[x]],tid[x],val,1);
x = fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
Update(tid[x],tid[y],val,1);
}

int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q)!=EOF)
{
char op[3];
int x,y,u,v;
Init();
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&num[i]);
for(int i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v);
}
dfs1(1,0,0);
dfs2(1,1);
Build(1,n,1);
// puts("Success!");
while(Q--)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='Q')
{
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",Query(tid[x],1));
}
else
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
if(op[0]=='D') v=-v;
Change(x,y,v);
}
}
}
return 0;
}


【SPOJ 375】
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【题意】

给定一棵树，告诉了每条边的权值，然后给出两种操作：

(1)把第i条边的权值改为val

(2)询问a，b路径上权值最大的边

【解题思路】本题与HDU3966差不多，区别就是：HDU3966是告诉树中点权的值，这里是边权。所以我们可以转化，用边的孩子节点来表示该边。
【AC代码】

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 50010;
const int INF = 1<<30;
int n,tim,tot;
int num[maxn],siz[maxn],top[maxn],son[maxn];
int dep[maxn],tid[maxn],Rank[maxn],fa[maxn];
int head[maxn*2],to[maxn*2],nex[maxn],w[maxn];
struct Edge{
int u,v,c;
Edge(){}
Edge(int u,int v,int c):u(u),v(v),c(c){}
}tmp[maxn*2];
void Init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(son,-1,sizeof(son));
tot=tim=0;
}
void addedge(int u,int v,int c)
{
to[tot]=v,w[tot]=c,nex[tot]=head[u],head[u]=tot++;
to[tot]=u,w[tot]=c,nex[tot]=head[v],head[v]=tot++;
}
/************************树剖部分**************************/
void dfs1(int u,int father,int d)
{
dep[u] = d;
fa[u] = father;
siz[u] = 1;
for(int i=head[u]; ~i; i=nex[i])
{
int v = to[i];
if(v!=father)
{
dfs1(v,u,d+1);
if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]])
son[u] = v;
}
}
}
void dfs2(int u,int tp)
{
top[u] = tp;
tid[u] = ++tim;
Rank[tid[u]] = u;
if(son[u]==-1) return ;
dfs2(son[u],tp);
for(int i=head[u]; ~i; i=nex[i])
{
int v = to[i];
if(v!=fa[u] && v!=son[u])
{
dfs2(v,v);
}
}
}
/********************线段树部分***********************/
struct node{
int l,r,maxx;
}Tree[maxn<<2];
void PushUp(int rt)
{
Tree[rt].maxx = max(Tree[rt<<1].maxx,Tree[rt<<1|1].maxx);
}
void Build(int l,int r,int rt)
{
Tree[rt].l=l,Tree[rt].r=r;
if(l==r)
{
Tree[rt].maxx = num[l];
return ;
}
int m=(l+r)/2;
Build(l,m,rt<<1);
Build(m+1,r,rt<<1|1);
PushUp(rt);
}
void Update(int pos,int val,int rt)
{
if(Tree[rt].l==Tree[rt].r){
Tree[rt].maxx = val;
return ;
}
int mid=(Tree[rt].l+Tree[rt].r)/2;
if(pos<=mid) Update(pos,val,rt<<1);
else Update(pos,val,rt<<1|1);
PushUp(rt);
}
int Query(int L,int R,int rt)
{
if(L<=Tree[rt].l&&Tree[rt].r<=R)
{
return Tree[rt].maxx;
}
int mid=(Tree[rt].l+Tree[rt].r)/2;
int ret = -INF;
if(L<=mid) ret = max(ret,Query(L,R,rt<<1));
if(mid<R) ret = max(ret,Query(L,R,rt<<1|1));
return ret;
}
void Change(int x,int val)
{
if(dep[tmp[x].u]>dep[tmp[x].v])
Update(tid[tmp[x].u],val,1);
else
Update(tid[tmp[x].v],val,1);
}
int lca(int x,int y)
{
int ans = -INF;
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
ans = max(ans,Query(tid[top[x]],tid[x],1));
x = fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
if(x!=y) ans = max(ans,Query(tid[x]+1,tid[y],1));
return ans;
}
int main()
{
int tt;
scanf("%d",&tt);
while(tt--)
{
Init();
char op[10];
int a,b,c;
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<n; i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
tmp[i]=Edge(a,b,c);
addedge(a,b,c);
}
dfs1(1,1,1);
dfs2(1,1);
//用边的儿子结点来表示边
for(int i=1; i<n; i++)
{
if(dep[tmp[i].u]>dep[tmp[i].v])
num[tid[tmp[i].u]] = tmp[i].c;
else num[tid[tmp[i].v]] = tmp[i].c;
}
Build(2,n,1);
//puts("Success!");
while(1)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='D') break;
scanf("%d%d",&a,&b);
if(op[0]=='Q')
{
printf("%d\n",lca(a,b));
}
else
{
Change(a,b);
}
}
}
return 0;
}