2016 UESTC Training for Math Problem C-咸鱼的跑步比赛（解同余线性方程组）

C - 咸鱼的跑步比赛

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旅行到喵哈村的谭爷，发现一个超自然现象！

这里的咸鱼是跳着移动的！而且每次移动的距离相同，而且都是整数！！

突然，他有了强烈的好奇心，想知道咸鱼们能不能汇合到一起嘞？ 为了简化了问题，他强行将咸鱼们放在一条直（数）线（轴）上，并且将所在的位置强行规定成了在正半轴的整点！

先在给你此刻咸鱼的只数，其跳跃的距离ni，第i只咸鱼的位置ai，有没有合适的位置x让咸鱼们集合在一起。

（咸鱼可以向左也可以向右跳哟~）

如果没有输出-1

有的话找到并输出一个最小的符合条件的正整数x

谭爷仔细想了想，感觉暴力似乎是没法做的！

Input

第一行，咸鱼只数n

n<=100

第二到第n+1行有两个正整数表示ni 和 ai

1<=ni,ai<=1000

Output

一行，表示最小的符合条件的正整数x 可能很大！请用long long

解题思路：

设咸鱼汇合的位置是x，则|x-ai|mod ni=0；即x与ai modni同余，所以我们可以考虑解同余线性方程组，得出最小正整数解；

（1）只有一个方程时，答案为ai%ni；

（2）只有两个方程时，

x=k1*n1+a1;

x=k2*n2+a2;

联立：

K1*n1-k2*n2=a1-a2;

根据贝祖定理，有解当且仅当（a1-a2）|gcd(k1,k2);

 

考虑扩展欧几里得：

两边同时乘以gcd(n1,n2)/(a1-a2);

   得到：

K1*x-k2*y=gcd(k1,k2);

解x

X*=（a1-a2）/gcd(n1,n2);

X=x*n1+a1；

（3）有多个方程：

X作为新合并的方程的a，lcm（n1，n2）作为新的方程的n；如此两两合并；

代码：
#include<stdio.h>
typedef long long LL;
LL r[105], a[105];
LL ExGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
LL r=ExGcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
LL Modline(LL r[],LL a[],int n)
{
LL rr=r[0],aa=a[0];
for(int i=1;i<n;i++)
{
LL C=r[i]-rr,x,y;
LL d=ExGcd(aa,a[i],x,y);
if((C%d)!=0) return -1;
LL Mod=a[i]/d;
x=((x*(C/d)%Mod)+Mod)%Mod;
rr=rr+aa*x;
aa=aa*a[i]/d;
}
return rr;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
if(t==1)
{
scanf("%lld%lld",&a[0],&r[0]);
printf("%lld",r[0]%a[0]);
return 0;
}
for(int i=0;i<t;i++)
scanf("%lld%lld",&a[i],&r[i]);
LL ans=Modline(r,a,t);
printf("%lld",ans);
return 0;
}