POJ 1286 Necklace of Beads(Polya原理)

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POJ 1286 Necklace of Beads

题意：

有3种颜色来涂n颗珠子的项链，考虑翻转和旋转，问不同的项链个数?

分析：

假设有t种颜色，n颗珠子。

旋转

如果逆时针旋转i颗珠子的间距，则珠子0,i,2i,...构成一个循环，这个循环有i∗ngcd(i,n个元素。根据对称性，所有循环的长度均相同，因此一共有gcd(i,n)个循环。这些置换的不动点总数为a=∑n−1i=0tgcd(i,n)

翻转

当n为奇数时，对称轴有n条，这条对称轴形成n−12个长度为2的循环和1个长度为1的循环，即n+12个循环。这些置换的不动点总数为b=n∗tn+12

当n为偶数时，对称轴分两种。穿过珠子的对称轴有n2条，各形成n2−1个长度为2的循环和2个长度为1的循环；不穿过珠子的对称轴有n2条，各形成n2个长度为2的循环。这些置换的不动点总数为b=n2(tn2+1+tn2)

根据Polya原理，当考虑旋转时的方案数为an,同时考虑旋转和翻转时的方案数为a+b2n.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 25;

ll quick_pow(ll a, ll b)
{
ll res = 1, tmp = a;
while(b) {
if(b & 1) res *= tmp;
tmp *= tmp;
b >>= 1;
}
return res;
}

int gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main()
{
int n;
while(~scanf("%d", &n) && n != -1) {
ll a = 0, b = 0;
for(int i = 0; i < n; ++i ) {
a += quick_pow(3, gcd(i, n));
}
if(n & 1) b = (ll)n * quick_pow(3, (n + 1) / 2);
else b = (ll) n / 2 * (quick_pow(3, n / 2 + 1) + quick_pow(3, n / 2));
if(n == 0) printf("0\n");
else printf("%lld\n", (a + b) / 2 / n);
}
return 0;
}