陶哲轩实分析 4.3 节习题试解

陶哲轩实分析 4.3 节习题试解

4.3.1 证明命题 4.3.3

（a） 证明 ，当 时， 。

分情况讨论

（1）， ，所以

（2）， ，所以

（3）， ，所以

所以无论 为任意实数，都有

由上面的讨论可知，只有 时 。所以当 时， 。

（b）

分情况讨论。共 10 种情况。

（1） ，

（2） ，

（3） ，

（4） ，

（5） 。这时

（6） 。 这时

（7） 。这时

（8） 。这时

（9） 。 这时

（10） 。这时

综合上述 10 种情况，都有

（c） 成立，当且仅当

先证明

因为 所以

分 2 种情况讨论：

（1） 并且 这时因为 ，所以

（2） 并且 这时因为 ，，所以

所以

再证明

表明 并且

因为 所以

所以

（d）

分情况讨论。

（1） 或 这时有

（2） 这时有

（3） 这时有

（4） 这时有

（5） 这时有

（e）， 当且仅当

（f） 证明 。

（g）证明

4.3.2 证明命题 4.3.7 剩下的结论

（a） 如果 那么对于每个 ， 都是 - 接近 的。反之，对于每个 ， 都是 - 接近 的，那么 。

则

所以如果 那么对于每个 ， 都是 - 接近 的。

反证法证明反向命题。

假设存在一对 和 满足 但是对于每个 ， 都是 - 接近 的。

因为 所以 所以

设

那么有 说明 不是 - 接近 的。与原假设矛盾。

所以 对于每个 ， 都是 - 接近 的，那么 。

（b）设 如果 是 - 接近 ， 那么 也是 - 接近 。

因为 是 - 接近 。

所以 。

所以

所以 是 - 接近 。

（c） ， 如果 如果 是 - 接近 的， 是 - 接近 的。那么 是 - 接近 的。

因为 是 - 接近 的， 是 - 接近 的。

所以

因为

所以 是 - 接近 的。

（d）， 如果 和 是 - 接近的， 和 是 - 接近的。那么 是 - 接近 的。而且 是 - 接近 的。

因为 和 是 - 接近的， 和 是 - 接近的。

所以

因为

所以 是 - 接近 的。

因为

所以 是 - 接近 的。

（e）， 如果 和 是 - 接近的，那么对于每个 ， 和 也是 - 接近。

因为 和 是 - 接近的。

所以

因为

所以

所以 和 也是 - 接近。

（f）， 如果 和 是 - 接近的， 和 也是 - 接近的，并且 介于 和 之间。那么 和 是 - 接近的。

因为 和 是 - 接近的， 和 也是 - 接近的。

所以有

对 分类讨论：

(1)

所以

如果 ，那么有

如果 ，那么有

所以

(2)

所以

如果 ，那么有

如果 ，那么有

所以

综上，恒有

所以 和 是 - 接近的。

（g）， 如果 和 是 - 接近的，并且 ，那么 是 接近 的。

因为 和 是 - 接近的。

所以 。

因为

所以 是 - 接近 的。

4.3.3 设 和 是比例数， 和 是自然数。

（a1）证明

对 m 用数学归纳法。

时，

假设对 成立。

那么对 ， 有

所以

（a2）证明

时，

假设对 成立。

那么 对 ，有

所以

（a3）证明

时，

假设对 成立。

那么 对 ，有

所以

（b） 当且仅当

先证明 。

数学归纳法:

当 时，显然

假设对于 成立，也就是

那么对于 ，有

所以 对任意 成立。

再证明 。

数学归纳法：

设 ， 时，显然 。

假设对于 成立，也就是

那么对于 ，有

所以 对任意 成立。

所以 当且仅当 。

（c1）如果 那么 。

数学归纳法：

已知 当 时，显然有 。

假设对于 成立，也就是

那么对于 ，有

所以

所以

（c2）如果 那么 。

数学归纳法：

已知 当 时，显然有 。

假设对于 成立，也就是

那么对于 ，有

所以

所以

（d）

数学归纳法：

当 时，显然有 。

假设对于 成立，也就是

那么对于 ，有

所以

4.3.4 设 和 是比例数， 和 是整数。

（a1）证明

先证明一个引理：当 和 是自然数并且 时， 。

设

证明另一个引理：当 是自然数时有：

数学归纳法：

时

假设对于 成立。

那么对于 有：

所以对任意的自然数 上述引理成立。

下面开始证明这道题，对 分情况讨论：

(1)

由上题结论

(2) 并且

设

(3) 并且

设

(4)

(5)

（a2）证明

对 分情况讨论：

(1)

由上题结论，此时有

(2)

设

(3)

设

(4)

设

（a3）证明

当 时，上题已经证明了 。

当 时，

（b1） 如果 那么当 是正数时 。

上道习题已经证明这个结论。

（b2） 如果 那么当 是负数时 。

当 是负数时 是正数。

（c）如果 并且 那么 。

当 是正数时，上题已经证明这个结论。

当 是负数时 是正数。

（d）

分类讨论：

(1) 由上题结论

(2)

4.3.5 证明对任何正整数 N ，都有

用数学归纳法，当 n = 1 时。

假设当 时 成立。

那么当 时，

所以对任意的正整数 N ，都有